8 - Calcule as seguintes integrais usando integração por partes:
c) \int e^{x} \cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{x}\cos(x)\,dx.
Informações úteis dadas: a integranda é o produto de e^{x} por \cos(x). O resultado deve ser uma primitiva (antiderivada) mais uma constante arbitrária C.

Passo 2

Vamos usar a técnica de integração por partes. Ela vem da regra do produto da derivada. Se u=u(x) e v=v(x) têm derivadas, então
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u\,\frac{dv}{dx}+v\,\frac{du}{dx}.
Integrando ambos os lados obtemos a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Explicando as letras:
  • u é uma função escolhida que vamos diferenciar para obter du.
  • dv é o restante da integranda que vamos integrar para obter v.
    A escolha de u e dv costuma seguir um critério prático (por exemplo funções que se tornam iguais ao derivar, como e^x, ou funções polinomiais que se simplificam), mas é flexível. Sempre que usar a fórmula, calcule explicitamente du e v.

Passo 3

Escolha natural: tomar u=e^{x} e dv=\cos(x)\,dx. Então
du = e^{x}\,dx,\qquad v=\int \cos(x)\,dx = \sin(x).
Aplicando integração por partes:
\int e^{x}\cos(x)\,dx = u v - \int v\,du = e^{x}\sin(x) - \int \sin(x)\,e^{x}\,dx.
Chamemos a integral original de I, isto é
I=\int e^{x}\cos(x)\,dx.
Então temos
I = e^{x}\sin(x) - \int e^{x}\sin(x)\,dx.

Passo 4

Agora precisamos calcular \int e^{x}\sin(x)\,dx. Aplicamos integração por partes novamente para essa integral. Tome novamente u=e^{x} e dv=\sin(x)\,dx. Então
du=e^{x}\,dx,\qquad v=\int \sin(x)\,dx = -\cos(x).
Logo
\int e^{x}\sin(x)\,dx = u v - \int v\,du = e^{x}(-\cos(x)) - \int (-\cos(x))\,e^{x}\,dx.
Simplificando:
\int e^{x}\sin(x)\,dx = -e^{x}\cos(x) + \int e^{x}\cos(x)\,dx.
Usando a notação I para \int e^{x}\cos(x)\,dx, obtemos
\int e^{x}\sin(x)\,dx = -e^{x}\cos(x) + I.

Passo 5

Voltemos para a expressão do Passo 3:
I = e^{x}\sin(x) - \int e^{x}\sin(x)\,dx.
Substituindo o resultado do Passo 4:
I = e^{x}\sin(x) - \big(-e^{x}\cos(x) + I\big).
Desenvolvendo os parênteses:
I = e^{x}\sin(x) + e^{x}\cos(x) - I.
Agora isolamos I somando I em ambos os lados:
2I = e^{x}\big(\sin(x)+\cos(x)\big).
Portanto
I = \frac{e^{x}}{2}\big(\sin(x)+\cos(x)\big) + C,
onde C é a constante de integração (colocada no final, pois ao resolver para I podemos absorver constantes).

Resposta

\displaystyle \frac{e^{x}}{2}\big(\sin(x)+\cos(x)\big)+C

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