8 - Calcule as seguintes integrais usando integração por partes:
c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações úteis dadas: a integranda é o produto de
por
. O resultado deve ser uma primitiva (antiderivada) mais uma constante arbitrária
.
Passo 2
Vamos usar a técnica de integração por partes. Ela vem da regra do produto da derivada. Se
e
têm derivadas, então
Integrando ambos os lados obtemos a fórmula de integração por partes:
Explicando as letras:
-
é uma função escolhida que vamos diferenciar para obter . -
é o restante da integranda que vamos integrar para obter .
A escolha dee costuma seguir um critério prático (por exemplo funções que se tornam iguais ao derivar, como , ou funções polinomiais que se simplificam), mas é flexível. Sempre que usar a fórmula, calcule explicitamente e .
Passo 3
Escolha natural: tomar
e
. Então
Aplicando integração por partes:
Chamemos a integral original de
, isto é
Então temos
Passo 4
Agora precisamos calcular
. Aplicamos integração por partes novamente para essa integral. Tome novamente
e
. Então
Logo
Simplificando:
Usando a notação
para
, obtemos
Passo 5
Voltemos para a expressão do Passo 3:
Substituindo o resultado do Passo 4:
Desenvolvendo os parênteses:
Agora isolamos
somando
em ambos os lados:
Portanto
onde
é a constante de integração (colocada no final, pois ao resolver para
podemos absorver constantes).