8 - Calcule as seguintes integrais usando integração por partes:
b)
c)
c)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já temos:
- Calcular por integração por partes as integrais
- Não há outras informações necessárias; vamos usar a fórmula de integração por partes e as antiderivadas elementares de funções trigonométricas e exponencial.
Passo 2
Relembrando a fórmula e por que ela vale (mini-aula):
- A regra do produto para derivadas diz que, se
e são diferenciáveis, então - Integrando ambos os lados obtém-se
- Isolando uma das integrais chegamos à fórmula de integração por partes:
onde escolhemos e de modo que e . - Dica prática para escolher
e : escolha como a parte que fica mais simples ao derivar (p.ex. polinômio), e como a parte cuja primitiva é conhecida (p.ex. exponencial, trigonométrica).
Passo 3
Resolver (b)
— escolha das partes:
- Tome
. Então . - Tome
. Precisamos da primitiva de : porque derivando obtém-se . - Agora aplique a fórmula
.
Passo 4
Continuação do cálculo de (b):
- Substituindo:
- Simplificando:
- Calcule a última integral:
porque a derivada de é . - Portanto
- Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Resolver (c)
— ideia geral:
- Para integrais do tipo
é comum aplicar integração por partes duas vezes e usar álgebra para isolar a integral desejada. - Denote por
a integral:
Passo 6
Primeira integração por partes em (c):
- Escolha
e . - Então
e . - Aplicando a fórmula:
- Chame a integral restante de
: de modo que .
Passo 7
Segunda integração por partes para
:
- Calcule
usando novamente integração por partes. - Tome
, . Então e . - Aplicando a fórmula:
- Mas
é exatamente . Logo
Passo 8
Fechar o sistema e isolar
:
- Volte para
e substitua : - Simplifique:
- Some
aos dois lados: - Divida por
:
Passo 9
Verificação rápida (opcional mas útil para a prova):
- Derivando a resposta para (c) confirma-se:
como desejado.