8 - Calcule as seguintes integrais usando integração por partes:
b) \int x \operatorname{sen}(3 x) d x
c) \int e^{x} \cos (x) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já temos:
  • Calcular por integração por partes as integrais \text{(b)}\quad \int x \sin(3x)\,dx
\text{\text{(c)}}\quad \int e^{x}\cos(x)\,dx
  • Não há outras informações necessárias; vamos usar a fórmula de integração por partes e as antiderivadas elementares de funções trigonométricas e exponencial.

Passo 2

Relembrando a fórmula e por que ela vale (mini-aula):
  • A regra do produto para derivadas diz que, se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então \frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Integrando ambos os lados obtém-se \int u'(x)v(x)\,dx + \int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x).
  • Isolando uma das integrais chegamos à fórmula de integração por partes: \int u(x)\,dv(x)=u(x)v(x)-\int v(x)\,du(x),onde escolhemos u(x) e dv(x) de modo que du(x)=u'(x)\,dx e v(x)=\int dv(x).
  • Dica prática para escolher u e dv: escolha u como a parte que fica mais simples ao derivar (p.ex. polinômio), e dv como a parte cuja primitiva é conhecida (p.ex. exponencial, trigonométrica).

Passo 3

Resolver (b) \displaystyle \int x \sin(3x)\,dx — escolha das partes:
  • Tome u(x)=x. Então du(x)=dx.
  • Tome dv(x)=\sin(3x)\,dx. Precisamos da primitiva de \sin(3x): v(x)=\int \sin(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x),porque derivando -\frac{1}{3}\cos(3x) obtém-se \sin(3x).
  • Agora aplique a fórmula \int u\,dv = u v - \int v\,du.

Passo 4

Continuação do cálculo de (b):
  • Substituindo: \int x \sin(3x)\,dx = x\cdot\biggl(-\frac{1}{3}\cos(3x)\biggr) - \int \biggl(-\frac{1}{3}\cos(3x)\biggr)\,dx.
  • Simplificando: \int x \sin(3x)\,dx = -\frac{x}{3}\cos(3x) + \frac{1}{3}\int \cos(3x)\,dx.
  • Calcule a última integral: \int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x),porque a derivada de \sin(3x) é 3\cos(3x).
  • Portanto \int x \sin(3x)\,dx = -\frac{x}{3}\cos(3x) + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\sin(3x) + C.
  • Simplificando os coeficientes: \int x \sin(3x)\,dx = -\frac{x}{3}\cos(3x) + \frac{1}{9}\sin(3x) + C.

Passo 5

Resolver (c) \displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx — ideia geral:
  • Para integrais do tipo \int e^{x}\cos(x)\,dx é comum aplicar integração por partes duas vezes e usar álgebra para isolar a integral desejada.
  • Denote por I a integral: I=\int e^{x}\cos(x)\,dx.

Passo 6

Primeira integração por partes em (c):
  • Escolha u(x)=e^{x} e dv(x)=\cos(x)\,dx.
  • Então du(x)=e^{x}\,dx e v(x)=\sin(x).
  • Aplicando a fórmula: I = e^{x}\sin(x) - \int e^{x}\sin(x)\,dx.
  • Chame a integral restante de K: K=\int e^{x}\sin(x)\,dx,de modo que I = e^{x}\sin(x) - K.

Passo 7

Segunda integração por partes para K:
  • Calcule K=\int e^{x}\sin(x)\,dx usando novamente integração por partes.
  • Tome u(x)=e^{x}, dv(x)=\sin(x)\,dx. Então du(x)=e^{x}\,dx e v(x)=-\cos(x).
  • Aplicando a fórmula: K = e^{x}\cdot(-\cos(x)) - \int (-\cos(x))e^{x}\,dx = -e^{x}\cos(x) + \int e^{x}\cos(x)\,dx.
  • Mas \int e^{x}\cos(x)\,dx é exatamente I. Logo K = -e^{x}\cos(x) + I.

Passo 8

Fechar o sistema e isolar I:
  • Volte para I = e^{x}\sin(x) - K e substitua K: I = e^{x}\sin(x) - \bigl(-e^{x}\cos(x) + I\bigr).
  • Simplifique: I = e^{x}\sin(x) + e^{x}\cos(x) - I.
  • Some I aos dois lados: 2I = e^{x}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr).
  • Divida por 2: I = \frac{1}{2} e^{x}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr) + C.

Passo 9

Verificação rápida (opcional mas útil para a prova):
  • Derivando a resposta para (c) confirma-se: \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}e^{x}(\sin x+\cos x)\right] =\frac{1}{2}e^{x}(\sin x+\cos x)+\frac{1}{2}e^{x}(\cos x-\sin x) =e^{x}\cos x,como desejado.

Resposta

\displaystyle \int x \sin(3x)\,dx = -\frac{x}{3}\cos(3x)+\frac{1}{9}\sin(3x)+C
\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx = \frac{1}{2}e^{x}\bigl(\sin x+\cos x\bigr)+C

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