Determine um intervalo que contenha uma solução para cada uma das seguintes equações.
Passo 1
O enunciado pede para determinar um intervalo que contenha uma solução da equação polinomial. As informações dadas são:
- A equação é
. - Precisa-se encontrar intervalos (com extremos reais) em que exista pelo menos uma raiz da equação.
Passo 2
Estratégia que vamos usar (sem mistério): polinômios são funções contínuas em toda a reta, então podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Vou definir a função
O Teorema do Valor Intermediário diz: se
é contínua em
e
e
têm sinais opostos (um positivo e outro negativo), então existe
tal que
. Logo, para achar intervalos que contenham raízes basta avaliar
em pontos fáceis (inteiros e meios) e procurar mudanças de sinal.
Passo 3
Avaliar
em
e
.
Aqui
e
. Como há mudança de sinal entre
e
e
é contínua, existe pelo menos uma raiz em
.
Passo 4
Avaliar
em
e
.
Aqui
e
. Há mudança de sinal entre
e
, logo existe pelo menos uma raiz em
.
Passo 5
Avaliar
em
(já feito) e em
.
Aqui
e
. Há mudança de sinal entre
e
, logo existe pelo menos uma raiz em
.
Passo 6
Interpretação final dos resultados: encontramos três intervalos distintos onde a função muda de sinal. Pelo Teorema do Valor Intermediário, cada um desses intervalos contém pelo menos uma raiz real. Escolhi os pontos
porque tornam as contas com potências e produtos fáceis de fazer à mão; esse é um truque prático na prova.