Determine um intervalo que contenha uma solução para cada uma das seguintes equações.
x^{3}+4,001 x^{2}+4,002 x+1,101=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar um intervalo que contenha uma solução da equação polinomial. As informações dadas são:
  • A equação é x^{3}+4,001x^{2}+4,002x+1,101=0.
  • Precisa-se encontrar intervalos (com extremos reais) em que exista pelo menos uma raiz da equação.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (sem mistério): polinômios são funções contínuas em toda a reta, então podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Vou definir a função
f(x)=x^{3}+4{,}001x^{2}+4{,}002x+1{,}101.
O Teorema do Valor Intermediário diz: se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos (um positivo e outro negativo), então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0. Logo, para achar intervalos que contenham raízes basta avaliar f em pontos fáceis (inteiros e meios) e procurar mudanças de sinal.

Passo 3

Avaliar f em x=-3 e x=-2.
f(-3)=(-3)^{3}+4{,}001(-3)^{2}+4{,}002(-3)+1{,}101=-27+36{,}009-12{,}006+1{,}101=-1{,}896
f(-2)=(-2)^{3}+4{,}001(-2)^{2}+4{,}002(-2)+1{,}101=-8+16{,}004-8{,}004+1{,}101=1{,}101
Aqui f(-3)=-1{,}896<0 e f(-2)=1{,}101>0. Como há mudança de sinal entre -3 e -2 e f é contínua, existe pelo menos uma raiz em (-3,-2).

Passo 4

Avaliar f em x=-1 e x=-0,5.
f(-1)=(-1)^{3}+4{,}001(-1)^{2}+4{,}002(-1)+1{,}101=-1+4{,}001-4{,}002+1{,}101=0{,}100
f(-0{,}5)=(-0{,}5)^{3}+4{,}001(-0{,}5)^{2}+4{,}002(-0{,}5)+1{,}101=-0{,}125+1{,}00025-2{,}001+1{,}101=-0{,}02475
Aqui f(-1)=0{,}100>0 e f(-0{,}5)=-0{,}02475<0. Há mudança de sinal entre -1 e -0{,}5, logo existe pelo menos uma raiz em (-1,-0{,}5).

Passo 5

Avaliar f em x=-0{,}5 (já feito) e em x=0.
f(0)=0^{3}+4{,}001\cdot0^{2}+4{,}002\cdot0+1{,}101=1{,}101
Aqui f(-0{,}5)=-0{,}02475<0 e f(0)=1{,}101>0. Há mudança de sinal entre -0{,}5 e 0, logo existe pelo menos uma raiz em (-0{,}5,0).

Passo 6

Interpretação final dos resultados: encontramos três intervalos distintos onde a função muda de sinal. Pelo Teorema do Valor Intermediário, cada um desses intervalos contém pelo menos uma raiz real. Escolhi os pontos -3,-2,-1,-0{,}5,0 porque tornam as contas com potências e produtos fáceis de fazer à mão; esse é um truque prático na prova.

Resposta

(-3,-2)
(-1,-0{,}5)
(-0{,}5,0)

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