(Valor 0,5). Qual é o primeiro passo para integrar
usando frações parciai
a) Fatorar o numerador.
b) Realizar a divisão de polinômios.
c) Usar substituição
.
d) Definir
.
a) Fatorar o numerador.
b) Realizar a divisão de polinômios.
c) Usar substituição
d) Definir
Passo 1
O enunciado pergunta qual é o primeiro passo para integrar a função racional
usando frações parciais, oferecendo as opções:
a) Fatorar o numerador.
b) Realizar a divisão de polinômios.
c) Usar substituição .
d) Definir .
a) Fatorar o numerador.
b) Realizar a divisão de polinômios.
c) Usar substituição
d) Definir
Informações dadas: a função a integrar é
. A pergunta é apenas sobre o primeiro passo do método de frações parciais (não pede a integral final).
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): para usar frações parciais numa função racional, a função precisa ser própria, isto é, o grau do numerador deve ser menor que o grau do denominador.
- Grau do numerador
grau de é . - Grau do denominador
grau de é .
Como, a função é uma fração imprópria. Regra prática: quando a fração é imprópria, o primeiro passo é realizar a divisão de polinômios para escrever a expressão como um polinômio mais uma fração própria. Portanto, antes de definir constantes de frações parciais ( etc.) deve-se dividir.
Passo 3
Vou executar a divisão de polinômios passo a passo para
.
Coloca-se
como numerador
e divide-se por
.
Usando divisão tradicional (ou sintética com raiz
):
Síntese (coeficientes do numerador:
; divisor
tem raiz
):
- Trago o
para baixo → primeiro coeficiente do quociente é . - Multiplico
e somo ao próximo coeficiente: . - Multiplico
e somo ao próximo coeficiente: .
Resultado: quociente tem coeficientes
(ou seja,
) e resto
.
Portanto a divisão dá a identidade:
Passo 4
Interpretação didática: após a divisão obtemos um polinômio
mais uma fração
cuja parte racional é própria (grau do numerador
menor que grau do denominador
). Agora sim é possível aplicar frações parciais na parte própria; nesse caso a fração própria é simples e já escrita na forma de uma única parcela parcial:
com
.
Passo 5
Resumo e conclusão didática: o procedimento correto e sistemático para integrar por frações parciais quando o numerador tem grau maior ou igual ao do denominador é:
- Fazer a divisão de polinômios para obter polinômio + fração própria.
- Decompor a fração própria em parcelas parciais.
- Integrar termo a termo.
Voltando à pergunta (qual é o primeiro passo), o primeiro passo é justamente realizar a divisão de polinômios.
Resposta
b)