(Valor 0,5). Qual é o primeiro passo para integrar \frac{x^{2}}{x-1} usando frações parciai
a) Fatorar o numerador.
b) Realizar a divisão de polinômios.
c) Usar substituição u=x-1.
d) Definir \frac{A}{x-1}.

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o primeiro passo para integrar a função racional \dfrac{x^{2}}{x-1} usando frações parciais, oferecendo as opções:
a) Fatorar o numerador.
b) Realizar a divisão de polinômios.
c) Usar substituição u=x-1.
d) Definir \dfrac{A}{x-1}.
Informações dadas: a função a integrar é \dfrac{x^{2}}{x-1}. A pergunta é apenas sobre o primeiro passo do método de frações parciais (não pede a integral final).

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): para usar frações parciais numa função racional, a função precisa ser própria, isto é, o grau do numerador deve ser menor que o grau do denominador.
  • Grau do numerador = grau de x^{2} é 2.
  • Grau do denominador = grau de x-1 é 1.
    Como 2 \ge 1, a função é uma fração imprópria. Regra prática: quando a fração é imprópria, o primeiro passo é realizar a divisão de polinômios para escrever a expressão como um polinômio mais uma fração própria. Portanto, antes de definir constantes de frações parciais ( A/(x-1) etc.) deve-se dividir.

Passo 3

Vou executar a divisão de polinômios passo a passo para \dfrac{x^{2}}{x-1}.
Coloca-se x^{2} como numerador x^{2}+0x+0 e divide-se por x-1.
Usando divisão tradicional (ou sintética com raiz 1):
Síntese (coeficientes do numerador: 1,\;0,\;0; divisor x-1 tem raiz 1):
  • Trago o 1 para baixo → primeiro coeficiente do quociente é 1.
  • Multiplico 1\cdot 1 = 1 e somo ao próximo coeficiente: 0+1=1.
  • Multiplico 1\cdot 1 = 1 e somo ao próximo coeficiente: 0+1=1.
Resultado: quociente tem coeficientes 1,\;1 (ou seja, x+1) e resto 1.
Portanto a divisão dá a identidade:
\frac{x^{2}}{x-1} = x+1 + \frac{1}{x-1}.

Passo 4

Interpretação didática: após a divisão obtemos um polinômio x+1 mais uma fração \dfrac{1}{x-1} cuja parte racional é própria (grau do numerador 0 menor que grau do denominador 1). Agora sim é possível aplicar frações parciais na parte própria; nesse caso a fração própria é simples e já escrita na forma de uma única parcela parcial:
\frac{1}{x-1}=\frac{A}{x-1},
com A=1.

Passo 5

Resumo e conclusão didática: o procedimento correto e sistemático para integrar por frações parciais quando o numerador tem grau maior ou igual ao do denominador é:
  1. Fazer a divisão de polinômios para obter polinômio + fração própria.
  2. Decompor a fração própria em parcelas parciais.
  3. Integrar termo a termo.
Voltando à pergunta (qual é o primeiro passo), o primeiro passo é justamente realizar a divisão de polinômios.

Resposta

b)

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