(Enem 2009) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam \mathrm{R} \ 510,00 , e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com maisãí\mathrm{R} $7,00$.
De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?
a) R \ 14,00 . b) \(R \\) 17,00.
c) R \ 22,00 . d) \(\mathrm{R} \\) 32,00.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados extraídos do enunciado:
    • Um grupo inicial tinha 50 pessoas.
    • Foi calculado um orçamento e cada uma das 50 pessoas pagaria a mesma cota (essa cota inicial chamarei de q).
    • Ao final verificou‑se que faltavam \mathrm{R}\$\,510,00 para cobrir todas as despesas.
    • Entraram 5 novas pessoas (portanto, no acerto final são 55 pessoas).
    • No acerto ficou decidido que a despesa total seria dividida igualmente entre as 55 pessoas; as 5 novas pagariam sua parte e cada uma das 50 pessoas iniciais pagaria \mathrm{R}\$\,7,00 a mais do que já tinham pago.
  • O que o enunciado pede:
    • A cota final por pessoa quando a despesa é dividida entre as 55 pessoas (vou chamar essa cota final de p). Em outras palavras, encontrar p.

Passo 2

Vamos traduzir a situação para equações. Defino as variáveis:
  • q: cota que cada uma das 50 pessoas havia pago inicialmente.
  • p: cota final por pessoa quando a despesa é dividida entre as 55 pessoas.
  • T: despesa total da festa.
Agora escrevo as relações que vêm do enunciado, explicando cada uma:
  1. Como as 50 pessoas já haviam pago q cada, o total já arrecadado era 50q. Como ainda faltavam \mathrm{R}\$\,510,00 para cobrir toda a despesa, a despesa total vale
T = 50q + 510.
  1. No acerto final a despesa total T foi dividida igualmente entre 55 pessoas, então
T = 55p.
  1. Cada uma das 50 pessoas iniciais pagou, ao final, 7 reais a mais do que já haviam pago. Como a cota final é p e a cota que já haviam pago era q, isso dá
p - q = 7.
Temos, portanto, o sistema de equações acima que relaciona p, q e T.

Passo 3

Substituo q em função de p a partir de p-q=7. Da equação p-q=7 vem
q = p - 7.
Agora uso essa expressão em T = 50q + 510 e igualo com T = 55p:
55p = 50q + 510.
Substituindo q = p - 7:
55p = 50(p - 7) + 510.
Faço as contas passo a passo:
50(p - 7) = 50p - 350,
então
55p = 50p - 350 + 510 = 50p + 160.
Isolando p:
55p - 50p = 160 \quad\Rightarrow\quad 5p = 160.
Logo
p = \frac{160}{5} = 32.

Passo 4

Verificação (para fixar a ideia e conferir que não houve erro):
  • A cota inicial seria q = p - 7 = 32 - 7 = 25.
  • O que as 50 pessoas haviam arrecadado inicialmente: 50\cdot 25 = 1250.
  • Faltavam 510, então a despesa total é T = 1250 + 510 = 1760.
  • Dividindo T por 55 1760/55 = 32, que é exatamente p. Tudo consistente.

Resposta

R\$\,32{,}00

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