(Enem 2009) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam
510,00
\mathrm{R} $7,00$.
De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?
a)
14,00
.
c)
22,00
.
a)
c)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados extraídos do enunciado:
- Um grupo inicial tinha
pessoas. - Foi calculado um orçamento e cada uma das
pessoas pagaria a mesma cota (essa cota inicial chamarei de ). - Ao final verificou‑se que faltavam
para cobrir todas as despesas. - Entraram
novas pessoas (portanto, no acerto final são pessoas). - No acerto ficou decidido que a despesa total seria dividida igualmente entre as
pessoas; as novas pagariam sua parte e cada uma das pessoas iniciais pagaria a mais do que já tinham pago.
- Um grupo inicial tinha
-
O que o enunciado pede:
- A cota final por pessoa quando a despesa é dividida entre as
pessoas (vou chamar essa cota final de ). Em outras palavras, encontrar .
- A cota final por pessoa quando a despesa é dividida entre as
Passo 2
Vamos traduzir a situação para equações. Defino as variáveis:
-
: cota que cada uma das 50 pessoas havia pago inicialmente. -
: cota final por pessoa quando a despesa é dividida entre as 55 pessoas. -
: despesa total da festa.
Agora escrevo as relações que vêm do enunciado, explicando cada uma:
- Como as
pessoas já haviam pago cada, o total já arrecadado era . Como ainda faltavam para cobrir toda a despesa, a despesa total vale
- No acerto final a despesa total
foi dividida igualmente entre pessoas, então
- Cada uma das
pessoas iniciais pagou, ao final, reais a mais do que já haviam pago. Como a cota final é e a cota que já haviam pago era , isso dá
Temos, portanto, o sistema de equações acima que relaciona
,
e
.
Passo 3
Substituo
em função de
a partir de
. Da equação
vem
Agora uso essa expressão em
e igualo com
:
Substituindo
:
Faço as contas passo a passo:
então
Isolando
:
Logo
Passo 4
Verificação (para fixar a ideia e conferir que não houve erro):
- A cota inicial seria
. - O que as 50 pessoas haviam arrecadado inicialmente:
. - Faltavam
, então a despesa total é . - Dividindo
por dá , que é exatamente . Tudo consistente.