7 (Enem) Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, feitas de um mesmo material. Por ter recebido de seus clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura em
, preservando suas espessuras. A fim de manter o custo com o material de cada porta, precisou reduzir a largura. A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede a razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior. As informações fornecidas são:
- A porta original tem altura
, largura e espessura . - A nova porta teve a altura aumentada em
(ou seja, a nova altura é maior que a antiga em da altura antiga). - A espessura foi preservada (ou seja, a espessura nova é igual à espessura antiga).
- Para manter o custo do material por porta, o carpinteiro reduziu a largura — isto implica que o volume de material de cada porta permaneceu igual.
- O que se pede: calcular a razão entre a largura nova e a largura antiga, isto é
(onde é a largura nova).
Passo 2
Vamos atribuir variáveis claras e traduzir as informações em igualdades.
- Denotar a altura original por
, a largura original por e a espessura por . - Denotar a nova altura por
, a nova largura por e a nova espessura por .
Pelo enunciado:
e a altura aumentou em
, então
Explicando a relação custo–volume: como o material e o preço por unidade de volume são os mesmos, manter o custo por porta igual significa manter o volume de material por porta igual. O volume de uma porta maciça retangular é dado por produto das três dimensões (altura, largura, espessura).
Passo 3
Escrever a igualdade de volumes (volume antigo = volume novo):
Substituindo
simplifica-se por
:
Aqui foi usada a regra de que, se
e
, então
. É apenas cancelar fatores iguais em ambos os lados de uma igualdade.
Passo 4
Isolar a razão
. Da igualdade
temos:
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Agora substituímos
:
Ao simplificar
(pois
) obtemos
Isto é, a nova largura é
da largura antiga.
Passo 5
Breve exemplo numérico para fixar a intuição: se
,
e
então o volume original é
. A nova altura é
. Para manter
como volume com
precisa-se de
. Assim
. Confere com o cálculo algébrico anterior.
Resposta
d)