7 (Enem) Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, feitas de um mesmo material. Por ter recebido de seus clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura em \frac{1}{8}, preservando suas espessuras. A fim de manter o custo com o material de cada porta, precisou reduzir a largura. A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior é:
a) \frac{1}{8}
b) \frac{7}{8}
c) \frac{8}{7}
d) \frac{8}{9}
e) \frac{9}{8}

Passo 1

O enunciado pede a razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior. As informações fornecidas são:
  • A porta original tem altura h, largura w e espessura t.
  • A nova porta teve a altura aumentada em \tfrac{1}{8} (ou seja, a nova altura é maior que a antiga em \tfrac{1}{8} da altura antiga).
  • A espessura foi preservada (ou seja, a espessura nova é igual à espessura antiga).
  • Para manter o custo do material por porta, o carpinteiro reduziu a largura — isto implica que o volume de material de cada porta permaneceu igual.
  • O que se pede: calcular a razão entre a largura nova e a largura antiga, isto é \dfrac{w'}{w} (onde w' é a largura nova).

Passo 2

Vamos atribuir variáveis claras e traduzir as informações em igualdades.
  • Denotar a altura original por h, a largura original por w e a espessura por t.
  • Denotar a nova altura por h', a nova largura por w' e a nova espessura por t'.
    Pelo enunciado:
t' = t
e a altura aumentou em \tfrac{1}{8}, então
h' = h + \tfrac{1}{8}h = \tfrac{9}{8}h.
Explicando a relação custo–volume: como o material e o preço por unidade de volume são os mesmos, manter o custo por porta igual significa manter o volume de material por porta igual. O volume de uma porta maciça retangular é dado por produto das três dimensões (altura, largura, espessura).

Passo 3

Escrever a igualdade de volumes (volume antigo = volume novo):
h w t = h' w' t'.
Substituindo t' = t simplifica-se por t:
h w = h' w'.
Aqui foi usada a regra de que, se a b c = a' b' c' e c=c', então a b = a' b'. É apenas cancelar fatores iguais em ambos os lados de uma igualdade.

Passo 4

Isolar a razão \dfrac{w'}{w}. Da igualdade h w = h' w' temos:
w' = \frac{h w}{h'}.
Dividindo ambos os lados por w obtemos
\frac{w'}{w} = \frac{h}{h'}.
Agora substituímos h' = \tfrac{9}{8}h:
\frac{w'}{w} = \frac{h}{\tfrac{9}{8}h}.
Ao simplificar h (pois h\neq 0) obtemos
\frac{w'}{w} = \frac{1}{\tfrac{9}{8}} = \tfrac{8}{9}.
Isto é, a nova largura é \tfrac{8}{9} da largura antiga.

Passo 5

Breve exemplo numérico para fixar a intuição: se h=8, w=9 e t=1 então o volume original é 8\cdot9\cdot1=72. A nova altura é h'=9. Para manter 72 como volume com t'=1 precisa-se de w' = 72/(9\cdot1)=8. Assim w'/w=8/9. Confere com o cálculo algébrico anterior.

Resposta

d) \tfrac{8}{9}

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