Exercício 7: Considere um tubo sólido longo, totalmente isolado no raio externo r_{2} e resfriado no raio interno \mathrm{r}_{1}, com termo de “geração” (neste caso consumo) uniforme de calor \dot{Q}\left(\mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}\right) no interior do sólido.
a) Obtenha a solução geral para a distribuição de temperaturas no tubo.
b) Em uma aplicação prática, um limite poderia ser fixado para a temperatura máxima permitida na superfície isolada ( \mathrm{r}=\mathrm{r}_{2} ). Especificando esse limite como \mathrm{T}_{\mathrm{s}, 2}, identifique condições de contorno apropriadas que poderiam ser usadas para determinar as constantes arbitrárias que aparecem na solução geral. Determine essas constantes e a forma correspondente da distribuição de temperaturas.
c) Determine a taxa de retirada de calor por unidade de comprimento do tubo.
d) Se o refrigerante estiver disponível a uma temperatura \mathrm{T}_{\infty}, obtenha uma expressão para o coeficiente convectivo que deveria ser mantido na superfície interna para permitir a operação nas condições especificadas de \mathrm{T}_{\mathrm{s}, 2} \mathrm{e} \dot{Q}.

Passo 1

Vou deixar clarinho o que o enunciado dá e o que pede, sem enrolação — que é pra você pegar foco rápido antes da conta.
O que o enunciado dá (dados relevantes):
  • Raio interno: r_{1}.
  • Raio externo: r_{2}.
  • Condutividade térmica do sólido: k (assumida constante).
  • Geração (neste caso consumo uniforme) volumétrica de calor: \dot{Q} (unidade \mathrm{W}/\mathrm{m}^3). Vou tratar \dot{Q} como a taxa volumétrica de geração dentro do material; sinal positivo significa geração, se for consumo o sinal poderia ser negativo — aqui mantemos \dot{Q} conforme enunciado.
  • Superfície externa r=r_{2} está isolada, mas na aplicação prática impõe-se um limite máximo de temperatura nessa superfície: \mathrm{T}_{\mathrm{s},2} (isso será usado como condição).
  • Superfície interna r=r_{1} é resfriada por um refrigerante a temperatura \mathrm{T}_{\infty} através de convecção com coeficiente h (parte (d) pede encontrar h necessário).
O que o enunciado pede:
a) Obter a solução geral para a distribuição de temperatura T(r) no tubo (solução do problema de condução com geração, em coordenadas cilíndricas, sem ainda aplicar condições).
b) Propor condições de contorno apropriadas para determinar as constantes arbitrárias usando o limite \mathrm{T}_{\mathrm{s},2} em r=r_{2}; então determinar as constantes e obter a forma explícita de T(r).
c) Determinar a taxa de retirada de calor por unidade de comprimento do tubo (ou seja, potência por metro).
d) Dado o refrigerante à temperatura \mathrm{T}_{\infty}, obter expressão para o coeficiente convectivo h que deve ser mantido na superfície interna para que a operação obedeça \mathrm{T}_{\mathrm{s},2} e \dot{Q}.

Passo 2

Escrevendo a equação diferencial governante e resolvendo (aulas rápidas de teoria mastigada).
Teoria básica necessária:
  • Em regime permanente, sem variação axial e sem variação angular (problema axisimétrico e longo), a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas com termo volumétrico de geração \dot{Q} é
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right) + \frac{\dot{Q}}{k}=0.
Explicando: a primeira parcela representa a divergência do fluxo radial (derivadas em r), e a segunda parcela é a geração por unidade de volume dividida por k (aparecendo com sinal positivo porque geração tende a aumentar a temperatura; o termo é posto do lado esquerdo para manter a igualdade zero).
Agora resolvemos a equação passo a passo.
  1. Multiplicando por r:
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right) = -\frac{\dot{Q}}{k}\,r.
  1. Integração em r (primeira integração):
r\frac{dT}{dr} = -\frac{\dot{Q}}{k}\,\frac{r^{2}}{2} + A,
onde A é constante de integração (vou chamá-la depois de C_{1} para ficar consistente).
  1. Isolando \dfrac{dT}{dr}:
\frac{dT}{dr} = -\frac{\dot{Q}}{2k}\,r + \frac{A}{r}.
  1. Integração em r (segunda integração):
T(r) = -\frac{\dot{Q}}{2k}\cdot\frac{r^{2}}{2} + A\ln r + B
onde B é outra constante de integração. Simplificando o coeficiente:
\boxed{\,T(r) = -\frac{\dot{Q}}{4k}\,r^{2} + C_{1}\ln r + C_{2}\,}
com C_{1} e C_{2} constantes arbitrárias a serem determinadas por condições de contorno. Isso responde (a): a solução geral.

Passo 3

Escolhendo condições de contorno apropriadas (parte b: justificativa física) e determinando C_{1} e C_{2}.
Justificativa física das condições:
  • A superfície externa r=r_{2} está isolada, mas na aplicação prática fixamos um limite máximo de temperatura nessa superfície; portanto uma condição conveniente é impor a temperatura nesse ponto:
\boxed{\,T(r_{2}) = T_{s,2}\,}
(esta é uma condição de Dirichlet aplicada porque queremos limitar a temperatura máxima na superfície externa).
  • Como o exterior está isolado (nenhum calor sai por r=r_{2}), todo o calor gerado no volume do tubo deve ser removido pela superfície interna r=r_{1} (pela convecção no refrigeração). Assim, a taxa total de calor gerada por unidade de comprimento é
Q'_{\text{ger}} = \dot{Q}\cdot \text{área da seção transversal do anel} = \dot{Q}\,\pi\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr)\quad\text{(W por metro de comprimento)}.áçã
Esse calor é removido pela superfície interna; então o fluxo radial na superfície interna multiplicado pela área lateral interna 2\pi r_{1} deve igualar Q'_{\text{ger}}. Ou seja, a condição de fluxo (Neumann) em r=r_{1} é
\boxed{\, -k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=r_{1}} \cdot 2\pi r_{1} \;=\; \dot{Q}\,\pi\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr)\, }.
Cancelando o fator \pi e isolando o fluxo por unidade de área na superfície interna:
\boxed{\, -k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=r_{1}} \;=\; \frac{\dot{Q}\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr)}{2 r_{1}} \equiv q_{r1}\, }
ou seja, a derivada em r_{1} é fixada pelo balanço energético — isso nos dá a segunda condição.
Agora aplicamos essas condições à solução geral para achar C_{1} e C_{2}.
Primeiro calcule a derivada geral:
\frac{dT}{dr} = -\frac{\dot{Q}}{2k}\,r + \frac{C_{1}}{r}.
Aplicando a condição de fluxo em r_{1}:
-k\left(-\frac{\dot{Q}}{2k}\,r_{1} + \frac{C_{1}}{r_{1}}\right) = \frac{\dot{Q}\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr)}{2 r_{1}}.
Simplificando o lado esquerdo:
\frac{\dot{Q}}{2}\,r_{1} - \frac{k C_{1}}{r_{1}} = \frac{\dot{Q}\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr)}{2 r_{1}}.
Multiplicando ambos os lados por r_{1}:
\frac{\dot{Q}}{2}\,r_{1}^{2} - k C_{1} = \frac{\dot{Q}}{2}\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr).
Isolando C_{1}:
k C_{1} = \frac{\dot{Q}}{2}\bigl(2 r_{1}^{2} - r_{2}^{2}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,C_{1} = \frac{\dot{Q}}{2k}\,\bigl(2 r_{1}^{2} - r_{2}^{2}\bigr)\, }.
Agora aplicamos T(r_{2})=T_{s,2} na solução geral:
T_{s,2} = -\frac{\dot{Q}}{4k}\,r_{2}^{2} + C_{1}\ln r_{2} + C_{2}.
Portanto
\boxed{\,C_{2} = T_{s,2} + \frac{\dot{Q}}{4k}\,r_{2}^{2} - C_{1}\ln r_{2}\, }.
Colocando tudo junto na forma mais conveniente (para usar na prova e para calcular rapidamente T(r)), escrevemos T(r) deslocando em torno de T_{s,2}:
\begin{aligned} T(r) &= -\frac{\dot{Q}}{4k}r^{2} + C_{1}\ln r + C_{2} \\\ &= T_{s,2} + \frac{\dot{Q}}{4k}\bigl(r_{2}^{2}-r^{2}\bigr) + C_{1}\ln\!\left(\frac{r}{r_{2}}\right). \end{aligned}
Substituindo C_{1} obtido:
\boxed{\,T(r) = T_{s,2} + \frac{\dot{Q}}{4k}\bigl(r_{2}^{2}-r^{2}\bigr) + \frac{\dot{Q}}{2k}\bigl(2 r_{1}^{2} - r_{2}^{2}\bigr)\ln\!\left(\frac{r}{r_{2}}\right).\,}
Esta é a distribuição de temperatura explícita que satisfaz as condições físicas escolhidas. (Dica prática: em prova, escreva primeiro a forma T=T_{s,2}+\cdots + C_{1}\ln(r/r_2) e depois substitua C_1.)

Passo 4

Cheque rápido de consistência física (como se fosse uma revisão final antes de entregar a resposta na prova).
  • Se \dot{Q}=0 (sem geração), a solução reduz-se a T(r)=C_{1}\ln r + C_{2}. Com fluxo total zero e T(r_{2}) fixo, isso se ajusta corretamente (e, com isolamento externo, o fluxo nulo implicaria C_{1}=0 e temperatura constante — faz sentido).
  • Dimensões: todos os termos em T(r) têm dimensão de temperatura; o coeficiente \dot{Q}/k tem dimensão \mathrm{K}/\mathrm{m}^{2} multiplicado por r^{2} dá K — consistente.

Passo 5

Taxa de retirada de calor por unidade de comprimento (parte c) — derivação e resultado direto.
A energia gerada por unidade de comprimento no anel entre r_{1} e r_{2} é
\boxed{\,Q' \;=\; \dot{Q}\,\pi\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr)\quad\text{(W por metro)}\,}
Esse Q' é precisamente a taxa de calor que deve ser retirada pela superfície interna (porque a superfície externa está isolada). Então essa é a resposta para (c).

Passo 6

Expressão para o coeficiente convectivo h requerido (parte d).
Para convecção na superfície interna vale a Lei de Newton do resfriamento:
\text{fluxo convectivo por unidade de área} = h\bigl(T(r_{1}) - T_{\infty}\bigr).á
Mas a mesma magnitude é o fluxo condutivo na superfície interna que já obtivemos do balanço:
q_{r1} = -k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r_{1}} = \frac{\dot{Q}\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr)}{2 r_{1}}.
Igualando:
h\bigl(T(r_{1}) - T_{\infty}\bigr) = \frac{\dot{Q}\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr)}{2 r_{1}}.
Logo, o coeficiente convectivo necessário é
\boxed{\,h \;=\; \frac{\dot{Q}\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr)}{2 r_{1}\,\bigl(T(r_{1}) - T_{\infty}\bigr)}\, }.
Substituindo explicitamente T(r_{1}) pela expressão que encontramos em (b) (colocando r=r_{1} na fórmula de T(r)):
\begin{aligned} T(r_{1}) &= T_{s,2} + \frac{\dot{Q}}{4k}\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr) + \frac{\dot{Q}}{2k}\bigl(2 r_{1}^{2} - r_{2}^{2}\bigr)\ln\!\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right). \end{aligned}
Portanto a expressão final fechada para h é
\boxed{\,h \;=\; \frac{\dot{Q}\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr)}{2 r_{1}\Biggl[T_{s,2} + \dfrac{\dot{Q}}{4k}\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr) + \dfrac{\dot{Q}}{2k}\bigl(2 r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\bigr)\ln\!\left(\dfrac{r_{1}}{r_{2}}\right) - T_{\infty}\Biggr]}\, }.
Interpretação prática: o denominador é a diferença entre a temperatura da parede interna (computada para cumprir T_{s,2} no exterior) e a temperatura do fluido refrigerante; quanto menor essa diferença, maior precisa ser h para retirar a mesma potência.

Resposta

a) T(r) = -\dfrac{\dot{Q}}{4k}\,r^{2} + C_{1}\ln r + C_{2}.
b) Condições de contorno sugeridas: T(r_{2})=T_{s,2} e -k\left.\dfrac{dT}{dr}\right|_{r_{1}}=\dfrac{\dot{Q}\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr)}{2 r_{1}}.
C_{1} = \frac{\dot{Q}}{2k}\bigl(2 r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\bigr),\qquad C_{2} = T_{s,2} + \frac{\dot{Q}}{4k}\,r_{2}^{2} - C_{1}\ln r_{2}.
Forma final:
T(r) = T_{s,2} + \frac{\dot{Q}}{4k}\bigl(r_{2}^{2}-r^{2}\bigr) + \frac{\dot{Q}}{2k}\bigl(2 r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\bigr)\ln\!\left(\frac{r}{r_{2}}\right).
c) Q'=\dot{Q}\,\pi\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr) (potência por unidade de comprimento, W/m).
d)
h = \frac{\dot{Q}\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr)}{2 r_{1}\,\bigl(T(r_{1})-T_{\infty}\bigr)},
com
T(r_{1}) = T_{s,2} + \frac{\dot{Q}}{4k}\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr) + \frac{\dot{Q}}{2k}\bigl(2 r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\bigr)\ln\!\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right),
ou, agrupando,
h = \frac{\dot{Q}\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr)}{2 r_{1}\Biggl[T_{s,2} + \dfrac{\dot{Q}}{4k}\bigl(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\bigr) + \dfrac{\dot{Q}}{2k}\bigl(2 r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\bigr)\ln\!\left(\dfrac{r_{1}}{r_{2}}\right) - T_{\infty}\Biggr] }.

Exercícios relacionados