1. p) (11111,11111)_{2} = 2^{4} + 2^{3} + 2^{2} + 2^{1} + 2^{0} + 2^{-1} + 2^{-2} + 2^{-3} + 2^{-4} + 2^{-5} = 31,96875_{10}
    R: 31,96875

Passo 1

O enunciado dá o número binário (11111,11111)_2 e pede sua representação em decimal. As informações relevantes são:
  • A parte inteira (à esquerda da vírgula) tem cinco dígitos iguais a 1.
  • A parte fracionária (à direita da vírgula) também tem cinco dígitos iguais a 1.
    O objetivo é converter (11111,11111)_2 para a base 10 e apresentar o valor decimal final.

Passo 2

Explicação rápida de como funciona a notação posicional em base 2: cada dígito 1 ou 0 representa uma potência de 2. Dígitos à esquerda da vírgula correspondem a potências não negativas 2^{0},2^{1},2^{2},\dots. Dígitos à direita da vírgula correspondem a potências negativas 2^{-1},2^{-2},2^{-3},\dots.
Aplicando isso ao número dado, escrevemos a expansão como soma de potências de 2:
(11111,11111)_2 = 2^{4}+2^{3}+2^{2}+2^{1}+2^{0}+2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}+2^{-5}.

Passo 3

Calcular a parte inteira (os cinco dígitos à esquerda da vírgula). Vamos avaliar cada potência:
2^{0}=1,\quad 2^{1}=2,\quad 2^{2}=4,\quad 2^{3}=8,\quad 2^{4}=16.
Somando:
2^{4}+2^{3}+2^{2}+2^{1}+2^{0}=16+8+4+2+1=31.
Portanto a parte inteira vale 31.

Passo 4

Calcular a parte fracionária (os cinco dígitos à direita). São as potências negativas:
2^{-1}=\tfrac{1}{2}=0,5,\quad 2^{-2}=\tfrac{1}{4}=0,25,\quad 2^{-3}=\tfrac{1}{8}=0,125,
2^{-4}=\tfrac{1}{16}=0,0625,\quad 2^{-5}=\tfrac{1}{32}=0,03125.
Somando termo a termo:
0,5+0,25=0,75,
0,75+0,125=0,875,
0,875+0,0625=0,9375,
0,9375+0,03125=0,96875.
Logo a parte fracionária vale 0,96875.
Observação alternativa (fórmula de série geométrica): a soma dos cinco termos pode ser obtida pela fórmula da soma finita de uma progressão geométrica. Para uma PG com primeiro termo a e razão r e n termos,
\text{soma} = a\frac{1-r^{n}}{1-r}.
Aqui a=2^{-1}, r=\tfrac{1}{2} e n=5. Assim
\text{soma} = 2^{-1}\cdot\frac{1-(\tfrac{1}{2})^{5}}{1-\tfrac{1}{2}} = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{1-\tfrac{1}{32}}{\tfrac{1}{2}} =1-\tfrac{1}{32}=\tfrac{31}{32}=0,96875,
o mesmo resultado.

Passo 5

Somar parte inteira e parte fracionária:
31 + 0,96875 = 31,96875.
Em forma de fração, é
31 + \tfrac{31}{32} = \tfrac{1023}{32},
que também vale 31,96875.

Resposta

31,96875

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