(Enem)Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão T(h)=-h^{2}+22 h-85, em que h representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta.
Intervalos de temperatura \left({ }^{\circ} \mathbf{C}\right) Classificação
\mathrm{T}<0 Muito baixa
0 \leq T \leq 17 Baixa
17<\mathrm{T}<30 Média
30 \leq T \leq 43 Alta
\mathrm{T}>43 Muito alta
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada como
a) muito baixa.
b) baixa.
c) média.
d) alta.

Passo 1

O enunciado fornece a temperatura no interior da estufa em função das horas h do dia:
T(h) = -h^{2} + 22h - 85.
Diz também que o número de bactérias é máximo quando a estufa atinge sua temperatura máxima; portanto precisamos encontrar a temperatura máxima T_{\max} da função T(h) e então verificar em qual intervalo de classificação essa temperatura se encaixa. A tabela de classificações (reproduzida) é:
T<0 \quad\text{(Muito baixa)},
0 \leq T \leq 17 \quad\text{(Baixa)},
17 < T < 30 \quad\text{(Média)},é
30 \leq T \leq 43 \quad\text{(Alta)},
T>43 \quad\text{(Muito alta)}.
A pergunta é: quando T está no seu valor máximo, qual é a classificação dessa temperatura?

Passo 2

Entender o tipo de função: T(h) é um polinômio quadrático da forma geral \;T(h)=ah^{2}+bh+c\; com a=-1, b=22, c=-85. Como a<0, a parábola é virada para baixo, isto é, tem um único ponto mais alto (vértice) onde ocorre o valor máximo de T(h). Para encontrar esse máximo podemos usar o método de completar o quadrado — é um método algébrico elementar que transforma a quadrática numa forma que deixa explícito o vértice.

Passo 3

Aplicar completar o quadrado passo a passo.
Começamos por escrever T(h) agrupando os termos em h:
T(h) = -h^{2}+22h-85 = -(h^{2}-22h)-85.
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. Observa-se que
h^{2}-22h = (h-11)^{2}-121,
porque (h-11)^{2}=h^{2}-22h+121. Substituindo:
T(h) = -\bigl((h-11)^{2}-121\bigr)-85.
Agora distribuímos o sinal negativo e somamos os constantes:
T(h) = -(h-11)^{2} +121 -85 = -(h-11)^{2} +36.

Passo 4

Interpretar a forma obtida. Como (h-11)^{2}\ge 0 para todo h, multiplique por -1 -(h-11)^{2}\le 0. Portanto T(h) atinge seu valor máximo quando (h-11)^{2}=0, isto é, em h=11 horas, e o valor máximo é
T_{\max} = 36.
Mostrei passo a passo a conta para chegar a T_{\max}=36.

Passo 5

Comparar T_{\max}=36 com os intervalos da tabela de classificação. Verifica-se que
30 \leq 36 \leq 43,
portanto a classificação correspondente é “Alta”.

Resposta

d)

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