(Enem) Ao analisar os dados de uma epidemia em uma cidade, peritos obtiveram um modelo que avalia a quantidade de pessoas infectadas a cada mês, ao longo de um ano. O modelo é dado por p(t)=-t^{2}+10 t+24, sendo t um número natural, variando de 1 a 12 , que representa os meses do ano, e p(t) a quantidade de pessoas infectadas no mês t do ano. Para tentar diminuir o número de infectados no próximo ano, a Secretaria Municipal de Saúde decidiu intensificar a propaganda oficial sobre os cuidados com a epidemia. Foram apresentadas cinco propostas (I, II, III, IV e V) com diferentes períodos de intensificação das propagandas:
  • I: 1 \leq t \leq 2;
  • II: 3 \leq t \leq 4;
  • III: 5 \leq t \leq 6;
  • IV: 7 \leq t \leq 9;
  • V: 10 \leq t \leq 12;
A sugestão dos peritos é que seja escolhida a proposta cujo período de intensificação da propaganda englobe o mês em que, segundo o modelo, há a maior quantidade de infectados. A sugestão foi aceita.
A proposta escolhida foi a
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.

Passo 1

O enunciado nos dá a função que modela a quantidade de infectados por mês:
p(t) = -t^{2} + 10t + 24,
onde t é um número natural que varia de 1 a 12 (os meses do ano) e p(t) é a quantidade de infectados no mês t. As propostas de intensificação da propaganda cobrem os seguintes intervalos de meses:
  • I: 1 \le t \le 2;
  • II: 3 \le t \le 4;
  • III: 5 \le t \le 6;
  • IV: 7 \le t \le 9;
  • V: 10 \le t \le 12.
O que o problema pede: identificar o mês (valor de t entre 1 e 12) em que p(t) atinge a maior quantidade de infectados segundo o modelo, e então escolher qual das propostas (I–V) engloba esse mês.

Passo 2

Entender a forma da função e como encontrar seu máximo. Observações importantes:
  • A função p(t) é um polinômio quadrático da forma geral at^{2}+bt+c, com aqui a=-1, b=10 e c=24.
  • Quando a<0 (como aqui, a=-1), a parábola é voltada para baixo e tem um único ponto máximo — o vértice da parábola. Esse vértice dá o valor de t onde a função (em termos reais) atinge seu máximo.
  • Para uma quadrática at^{2}+bt+c, a coordenada t do vértice é dada pela fórmula
t_{\text{v}} = -\dfrac{b}{2a}.
Explicação rápida dessa fórmula (intuição): essa fórmula surge ao completar o quadrado ou derivando a função; ela indica a abscissa do ponto onde a parábola tem máximo (ou mínimo, se a>0).

Passo 3

Aplicar a fórmula do vértice ao nosso polinômio. Aqui a=-1 e b=10, então
t_{\text{v}} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{10}{2\cdot(-1)} = -\dfrac{10}{-2} = 5.
Portanto, em termos reais, o vértice está em t=5. Como t representa meses e o domínio permitido é t\in\{1,2,\dots,12\}, o vértice t=5 está dentro do domínio.

Passo 4

Calcular o número de infectados no mês t=5 para saber o máximo correspondente:
p(5) = -(5)^{2} + 10\cdot 5 + 24 = -25 + 50 + 24.
Agora somar os termos:
-25 + 50 = 25,\qquad 25 + 24 = 49.
Portanto p(5)=49. Esse é o valor máximo real da função quadrática no intervalo considerado, já que o vértice está dentro do domínio.

Passo 5

Como t só pode ser inteiro, convém verificar os meses vizinhos para confirmar que nenhum mês inteiro tem valor maior. Calcular p(4) e p(6):
p(4) = -4^{2} + 10\cdot4 + 24 = -16 + 40 + 24 = 48,
p(6) = -6^{2} + 10\cdot6 + 24 = -36 + 60 + 24 = 48.
Vê-se que p(5)=49 é maior que p(4)=48 e p(6)=48. Logo, entre os meses inteiros de 1 a 12, o maior número de infectados ocorre em t=5.

Passo 6

Identificar qual proposta engloba o mês t=5. Observando as opções dadas:
  • A proposta III cobre o intervalo 5 \le t \le 6.
Portanto o mês de maior número de infectados ( t=5) está dentro do intervalo da proposta III.

Resposta

c)

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