(Enem) Ao analisar os dados de uma epidemia em uma cidade, peritos obtiveram um modelo que avalia a quantidade de pessoas infectadas a cada mês, ao longo de um ano. O modelo é dado por
, sendo t um número natural, variando de 1 a 12 , que representa os meses do ano, e
a quantidade de pessoas infectadas no mês t do ano. Para tentar diminuir o número de infectados no próximo ano, a Secretaria Municipal de Saúde decidiu intensificar a propaganda oficial sobre os cuidados com a epidemia. Foram apresentadas cinco propostas (I, II, III, IV e V) com diferentes períodos de intensificação das propagandas:
- I:
;
- II:
;
- III:
;
- IV:
;
- V:
;
A sugestão dos peritos é que seja escolhida a proposta cujo período de intensificação da propaganda englobe o mês em que, segundo o modelo, há a maior quantidade de infectados. A sugestão foi aceita.
A proposta escolhida foi a
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
A proposta escolhida foi a
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
Passo 1
O enunciado nos dá a função que modela a quantidade de infectados por mês:
onde
é um número natural que varia de
a
(os meses do ano) e
é a quantidade de infectados no mês
. As propostas de intensificação da propaganda cobrem os seguintes intervalos de meses:
- I:
; - II:
; - III:
; - IV:
; - V:
.
O que o problema pede: identificar o mês (valor de
entre
e
) em que
atinge a maior quantidade de infectados segundo o modelo, e então escolher qual das propostas (I–V) engloba esse mês.
Passo 2
Entender a forma da função e como encontrar seu máximo. Observações importantes:
- A função
é um polinômio quadrático da forma geral , com aqui , e . - Quando
(como aqui, ), a parábola é voltada para baixo e tem um único ponto máximo — o vértice da parábola. Esse vértice dá o valor de onde a função (em termos reais) atinge seu máximo. - Para uma quadrática
, a coordenada do vértice é dada pela fórmula
Explicação rápida dessa fórmula (intuição): essa fórmula surge ao completar o quadrado ou derivando a função; ela indica a abscissa do ponto onde a parábola tem máximo (ou mínimo, se
).
Passo 3
Aplicar a fórmula do vértice ao nosso polinômio. Aqui
e
, então
Portanto, em termos reais, o vértice está em
. Como
representa meses e o domínio permitido é
, o vértice
está dentro do domínio.
Passo 4
Calcular o número de infectados no mês
para saber o máximo correspondente:
Agora somar os termos:
Portanto
. Esse é o valor máximo real da função quadrática no intervalo considerado, já que o vértice está dentro do domínio.
Passo 5
Como
só pode ser inteiro, convém verificar os meses vizinhos para confirmar que nenhum mês inteiro tem valor maior. Calcular
e
:
Vê-se que
é maior que
e
. Logo, entre os meses inteiros de
a
, o maior número de infectados ocorre em
.
Passo 6
Identificar qual proposta engloba o mês
. Observando as opções dadas:
- A proposta III cobre o intervalo
.
Portanto o mês de maior número de infectados (
) está dentro do intervalo da proposta III.
Resposta
c)