(ENEM-MEC/Modificada): Em um concurso realizado em uma lanchonete, apresentavam-se ao consumidor quatro cartas voltadas para baixo, em ordem aleatória, diferenciadas pelos algarismos 0,1 , 2 e 5 . O consumidor selecionava uma nova ordem ainda com as cartas voltadas para baixo. Ao desvirálas, verificava-se quais delas continham o algarismo na posição correta do número 12,50 que era o valor, em reais, do trio-promoção. Para cada algarismo na posição acertada, ganhava-se um real de desconto. Por exemplo, se a segunda carta da sequência escolhida pelo consumidor fosse 2 e a terceira fosse 5, ele ganharia dois reais de desconto. Determine o número de sequências que podem ser formadas de modo que o consumidor não ganhe nenhum desconto.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro cartas com os algarismos \{0,1,2,5\} e uma sequência‐alvo “ 1\,2\,5\,0” (referente ao preço de R$12,50). O consumidor escolhe uma ordenação dessas quatro cartas e ganha R$ 1 de desconto para cada algarismo que ficar na mesma posição da sequência‐alvo. Queremos contar quantas permutações não dão nenhum desconto, isto é, em que nenhum algarismo coincide com a sua posição original. Esse problema se resolve pelo conceito de derangement (permutação sem pontos fixos) de 4 elementos.

Passo 2

O número total de permutações das quatro cartas é
4! = 24.
Destes 24 arranjos, queremos apenas os que não têm nenhum algarismo na posição correta em relação a “ 1\,2\,5\,0”.

Passo 3

A quantidade de derangements de n elementos, denotada !n, é dada por
!n = n!\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}.
Para n=4 obtemos
!4 = 4!\Bigl(1 - 1 + \tfrac12 - \tfrac16 + \tfrac1{24}\Bigr) = 24\Bigl(1 - 1 + 0,5 - 0,166\ldots + 0,04166\ldots\Bigr) = 24 \times 0,375 = 9.

Resposta

9

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