(ENEM-MEC/Modificada): Em um concurso realizado em uma lanchonete, apresentavam-se ao consumidor quatro cartas voltadas para baixo, em ordem aleatória, diferenciadas pelos algarismos 0,1 , 2 e 5 . O consumidor selecionava uma nova ordem ainda com as cartas voltadas para baixo. Ao desvirálas, verificava-se quais delas continham o algarismo na posição correta do número 12,50 que era o valor, em reais, do trio-promoção. Para cada algarismo na posição acertada, ganhava-se um real de desconto. Por exemplo, se a segunda carta da sequência escolhida pelo consumidor fosse 2 e a terceira fosse 5, ele ganharia dois reais de desconto. Determine o número de sequências que podem ser formadas de modo que o consumidor não ganhe nenhum desconto.
Passo 1
O enunciado apresenta quatro cartas com os algarismos
e uma sequência‐alvo “
” (referente ao preço de R$12,50). O consumidor escolhe uma ordenação dessas quatro cartas e ganha R$ 1 de desconto para cada algarismo que ficar na mesma posição da sequência‐alvo. Queremos contar quantas permutações não dão nenhum desconto, isto é, em que nenhum algarismo coincide com a sua posição original. Esse problema se resolve pelo conceito de derangement (permutação sem pontos fixos) de
elementos.
Passo 2
O número total de permutações das quatro cartas é
Destes
arranjos, queremos apenas os que não têm nenhum algarismo na posição correta em relação a “
”.
Passo 3
A quantidade de derangements de
elementos, denotada
, é dada por
Para
obtemos