(Enem) Em uma região com grande incidência de terremotos, observou-se que dois terremotos ocorridos apresentaram magnitudes M_{1} e M_{2}, medidos segundo a escala Richter, e liberaram energias iguais a E_{1} e E_{2}, respectivamente. Entre os estudiosos do assunto, é conhecida uma expressão algébrica relacionando esses valores dada por
M_{2}-M_{1}=\frac{2}{3} \log \left(\frac{E_{2}}{E_{1}}\right)
Estudos mais abrangentes observaram que o primeiro terremoto apresentou a magnitude \mathrm{M}_{1}=6,9 e a energia liberada foi um décimo da observada no segundo terremoto.
O valor aproximado da magnitude \mathrm{M}_{2} do segundo terremoto, expresso com uma casa decimal, é igual a
a) 5,4.
b) 6,2 .
c) 7,6 .
d) 8,2 .

Passo 1

O enunciado nos dá a relação entre magnitudes e energias e fornece alguns valores. Vou listar claramente o que é pedido e o que foi dado:
  • A relação conhecida é
M_{2}-M_{1}=\frac{2}{3}\log\left(\frac{E_{2}}{E_{1}}\right).
  • Foi observado que \mathrm{M}_{1}=6,9.
  • Foi informado que a energia do primeiro terremoto foi um décimo da energia do segundo. Em palavras: E_{1}=\dfrac{1}{10}E_{2}.
  • O que o enunciado pede: calcular a magnitude \mathrm{M}_{2} do segundo terremoto e expressá‑la com uma casa decimal.

Passo 2

Primeiro objetivo algébrico: isolar \mathrm{M}_{2} na fórmula dada. A partir de
M_{2}-M_{1}=\frac{2}{3}\log\left(\frac{E_{2}}{E_{1}}\right),
somamos M_{1} em ambos os lados para obter
M_{2}=M_{1}+\frac{2}{3}\log\left(\frac{E_{2}}{E_{1}}\right).
Aqui \log refere‑se ao logaritmo na base 10 (é o uso habitual na escala Richter).

Passo 3

Usar a informação sobre as energias para simplificar o logaritmo. Como foi dado que E_{1}=\dfrac{1}{10}E_{2}, temos
\frac{E_{2}}{E_{1}}=\frac{E_{2}}{\tfrac{1}{10}E_{2}}=10.
Portanto o argumento do logaritmo é 10.

Passo 4

Calcular o logaritmo na base 10 de 10. Pela definição de logaritmo: \log_{10}(10)=1 porque 10^{1}=10. Assim,
\log\left(\frac{E_{2}}{E_{1}}\right)=\log(10)=1.

Passo 5

Substituir esse valor na expressão isolada para M_{2}. Temos
M_{2}=M_{1}+\frac{2}{3}\cdot 1 = M_{1}+\frac{2}{3}.

Passo 6

Substituir o valor numérico de M_{1}. Como \mathrm{M}_{1}=6,9,
M_{2}=6,9+\frac{2}{3}.

Passo 7

Converter \dfrac{2}{3} para decimal para somar facilmente. Sabe‑se que
\frac{2}{3}=0,666\ldots\\ (\text{decimal periódico}).ó
Somando:
M_{2}=6,9+0,666\ldots=7,566\ldots

Passo 8

Arredondar M_{2}=7,566\ldots para uma casa decimal. Regra de arredondamento: observar a segunda casa decimal (a centésima). Aqui a primeira casa decimal é 7,5 e a segunda é 6 (maior ou igual a 5), então arredonda‑se a primeira casa para cima, ficando 7,6.

Resposta

7,6

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