(Ufjf-pism 1) Um terremoto é o resultado de uma liberação súbita de energia que provoca movimentos da superficie terrestre. Esses movimentos recebem o nome de abalos sísmicos. A magnitude de um terremoto, que é uma medida quantitativa do tamanho do terremoto, está relacionada com a energia sísmica liberada no foco do terremoto. Em 1935 Gutenberg e Richter concluíram que a fórmula
relaciona a energia sísmica liberada E , medida em erg, com a magnitude M do terremoto, em que K é uma constante positiva.
De acordo com a fórmula acima, qual é a razão entre a energia liberada por um terremoto de magnitude 7 com um terremoto de magnitude 3?
a)
b)
c) 4
d)
De acordo com a fórmula acima, qual é a razão entre a energia liberada por um terremoto de magnitude 7 com um terremoto de magnitude 3?
a)
b)
c) 4
d)
Passo 1
O enunciado nos dá a relação entre a energia sísmica liberada
(em erg) e a magnitude
:
onde
é uma constante positiva. A pergunta pede a razão entre a energia liberada por um terremoto de magnitude
e a energia liberada por um terremoto de magnitude
. Em termos matemáticos, deseja-se calcular
onde
é a energia para
e
é a energia para
.
Passo 2
Primeiro vamos transformar a expressão logarítmica em uma expressão para
. Lembrando a definição: se
então
. Aplicando isso à fórmula dada,
Explicando devagar: a expressão
significa que
é
elevado à soma
. Usando a propriedade das potências
, podemos também escrever
Passo 3
Agora escrevemos explicitamente
e
usando
e
:
Aqui usei apenas a fórmula substituindo
pelos valores pedidos.
Passo 4
Calculamos a razão
. Quando dividimos potências de base
com expoentes diferentes, subtraímos os expoentes:
Observe que o
cancela. Então
Passo 5
Interpretação final e verificação: a diferença de magnitude é
. Como a fórmula tem coeficiente
na magnitude, o fator entre energias é
ou seja, um terremoto de magnitude
libera
vezes (um milhão de vezes) mais energia que um de magnitude
. Isso faz sentido fisicamente e coincide com o cálculo direto feito acima.