(Ufjf-pism 1) Um terremoto é o resultado de uma liberação súbita de energia que provoca movimentos da superficie terrestre. Esses movimentos recebem o nome de abalos sísmicos. A magnitude de um terremoto, que é uma medida quantitativa do tamanho do terremoto, está relacionada com a energia sísmica liberada no foco do terremoto. Em 1935 Gutenberg e Richter concluíram que a fórmula
\log _{10} E=K+\frac{3}{2} \cdot M
relaciona a energia sísmica liberada E , medida em erg, com a magnitude M do terremoto, em que K é uma constante positiva.
De acordo com a fórmula acima, qual é a razão entre a energia liberada por um terremoto de magnitude 7 com um terremoto de magnitude 3?
a) \frac{3}{7}
b) \frac{7}{3}
c) 4
d) 10^{-6}

Passo 1

O enunciado nos dá a relação entre a energia sísmica liberada E (em erg) e a magnitude M:
\log_{10} E = K + \frac{3}{2}\,M,
onde K é uma constante positiva. A pergunta pede a razão entre a energia liberada por um terremoto de magnitude 7 e a energia liberada por um terremoto de magnitude 3. Em termos matemáticos, deseja-se calcular
\frac{E_{7}}{E_{3}},
onde E_{7} é a energia para M=7 e E_{3} é a energia para M=3.

Passo 2

Primeiro vamos transformar a expressão logarítmica em uma expressão para E. Lembrando a definição: se \log_{10} E = A então E = 10^{A}. Aplicando isso à fórmula dada,
\log_{10} E = K + \frac{3}{2}\,M \quad\Longrightarrow\quad E = 10^{\,K + \frac{3}{2}M}.
Explicando devagar: a expressão 10^{\,K + \frac{3}{2}M} significa que E é 10 elevado à soma K + \tfrac{3}{2}M. Usando a propriedade das potências 10^{a+b}=10^{a}\cdot 10^{b}, podemos também escrever
E = 10^{K}\cdot 10^{\frac{3}{2}M}.

Passo 3

Agora escrevemos explicitamente E_{7} e E_{3} usando M=7 e M=3:
E_{7} = 10^{\,K + \frac{3}{2}\cdot 7} = 10^{\,K + \frac{21}{2}},
E_{3} = 10^{\,K + \frac{3}{2}\cdot 3} = 10^{\,K + \frac{9}{2}}.
Aqui usei apenas a fórmula substituindo M pelos valores pedidos.

Passo 4

Calculamos a razão E_{7}/E_{3}. Quando dividimos potências de base 10 com expoentes diferentes, subtraímos os expoentes:
\frac{E_{7}}{E_{3}}=\frac{10^{\,K + \frac{21}{2}}}{10^{\,K + \frac{9}{2}}}=10^{\left(K+\frac{21}{2}\right)-\left(K+\frac{9}{2}\right)}.
Observe que o K cancela. Então
\frac{E_{7}}{E_{3}}=10^{\frac{21}{2}-\frac{9}{2}}=10^{\frac{12}{2}}=10^{6}.

Passo 5

Interpretação final e verificação: a diferença de magnitude é 7-3=4. Como a fórmula tem coeficiente \tfrac{3}{2} na magnitude, o fator entre energias é
10^{\frac{3}{2}\cdot(7-3)}=10^{\frac{3}{2}\cdot 4}=10^{6},
ou seja, um terremoto de magnitude 7 libera 10^{6} vezes (um milhão de vezes) mais energia que um de magnitude 3. Isso faz sentido fisicamente e coincide com o cálculo direto feito acima.

Resposta

10^{6}

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