1 (Energia - 25 pontos)
(a) (1) Qual a definição de energia cinética?..
(b) (2) Qual a definição de velocidade? Qual a definição de ângulo? (use as definições “adultas”, isto é, com derivadas)
© (2) Usando as definições acima defina velocidade angular omega e mostre a relação entre velocidade angular e velocidade linear.
(d) (1) Use o conceito de velocidade angular e escreva a energia cinética de uma massa pontual com velocidade v girando ao redor de um ponto ao qual sua distância é r ?
(e) (2) Faça isso agora para duas partículas, de massas diferentes e distâncias diferentes ao centro de rotação.
(f) (2) Agora para muitas partículas, de massas diferentes e distâncias diferentes. Lembre todas as partículas devem ser contadas.
(g) (2) Agora para infinitas partículas de massas infinitesimalmente pequenas. Lembre de contar todas as partículas. Identifique os termos da expressão que escrever.
(h) (1) Nas expressões acima é possível isolar omega e deixar o “resto” separado. Que nome se dá ao “resto”? O que o resto mede?
(i) (2) A conta sugerida pela expressão acima é difícil de fazer porque não enxergamos a relação entre uma variável e a outra. Que mudança precisamos fazer para tornar o problema possível?
(j) (4) Calcular a energia cinética de uma barra de massa M girando ao redor de uma extremidade. Não se façam de tolos, é para calcular não para escrever a expressão 😃
(k) (4) Calcule a energia cinética da mesma barra girando ao redor de seu centro.
(1) (3) Use o teorema dos eixos paralelos e mostre que a resposta aos dois itens anteriores está correta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de energia! A gente vai trabalhar com conceitos de energia cinética, velocidade, ângulo, velocidade angular e algumas aplicações desses conceitos em sistemas com partículas e objetos rígidos. Para resolver isso, vamos precisar entender as definições básicas desses termos e como eles se relacionam, especialmente usando derivadas para definições mais “adultas”.

Passo 2

(a) Qual a definição de energia cinética?
Energia cinética é a energia que um objeto possui devido ao seu movimento. Basicamente, é a energia que algo tem quando está se movendo. A fórmula para calcular a energia cinética ( Ec) de um objeto é:
Ec = 12 m v^2
onde m é a massa do objeto e v é a velocidade.

Passo 3

(b) Qual a definição de velocidade? Qual a definição de ângulo?
Velocidade: Velocidade é a taxa de variação da posição de um objeto em relação ao tempo. Em termos matemáticos, é a derivada da posição ( x) em relação ao tempo ( t):
v = dxdt
Ângulo: Ângulo é uma medida da rotação entre duas linhas que se encontram em um ponto comum, chamada de vértice. Matematicamente, a taxa de variação do ângulo ( theta) em relação ao tempo ( t) é chamada de velocidade angular:
omega = dthetadt

Passo 4

© Definição de velocidade angular omega e relação entre velocidade angular e velocidade linear.
Velocidade angular ( omega): É a taxa de variação do ângulo em relação ao tempo. Já vimos que:
omega = dthetadt
Relação entre velocidade angular e velocidade linear ( v): Quando um objeto está girando em um círculo de raio r, a velocidade linear está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
v = omega r
Isso significa que quanto maior o raio ou a velocidade angular, maior será a velocidade linear.

Passo 5

(d) Energia cinética de uma massa pontual com velocidade v girando ao redor de um ponto a uma distância r.
Usando a relação v = omega r, podemos substituir na fórmula da energia cinética:
Ec = 12 m v^2 = 12 m (omega r)^2 = 12 m omega^2 r^2
Então, a energia cinética ( Ec) dessa massa pontual é:
Ec = 12 m omega^2 r^2

Passo 6

(e) Energia cinética para duas partículas, de massas e distâncias diferentes ao centro de rotação.
Se tivermos duas partículas com massas m1 e m2 e distâncias r1 e r2 do centro, a energia cinética total é a soma das energias de cada partícula:
Ec = 12 m1 omega^2 r1^2 + 12 m2 omega^2 r2^2

Passo 7

(f) Energia cinética para muitas partículas, de massas e distâncias diferentes. Todas as partículas devem ser contadas.
Para várias partículas, a energia cinética total é a soma de todas as energias individuais:
Ec = sumi=1^n 12 mi omega^2 ri^2
Onde n é o número total de partículas, mi é a massa da i-ésima partícula e ri é a distância dela ao centro de rotação.

Passo 8

(g) Energia cinética para infinitas partículas de massas infinitesimalmente pequenas. Identifique os termos da expressão.
Quando lidamos com um objeto contínuo em vez de partículas discretas, usamos integração. A energia cinética total é:
Ec = 12 omega^2 integral r^2 , dm
Aqui, dm representa uma massa infinitesimal a uma distância r do centro. O termo integral r^2 , dm é conhecido como o momento de inércia ( I):
Ec = 12 I omega^2

Passo 9

(h) Nome do “resto” ao isolar omega e o que ele mede.
Ao isolar omega na expressão Ec = 12 I omega^2, o “resto” é 12 I. Este termo 12 I é conhecido como “inércia rotacional” e mede a resistência de um objeto à mudança em seu movimento de rotação.

Passo 10

(i) Mudança necessária para tornar o problema possível devido à dificuldade de relação entre variáveis.
Para simplificar a relação entre as variáveis, geralmente adotamos coordenadas angulares e utilizamos o momento de inércia ( I). Isso permite expressar a energia cinética diretamente em termos de omega e I, facilitando os cálculos e a compreensão da relação entre rotação e energia.

Passo 11

(j) Calcular a energia cinética de uma barra de massa M girando ao redor de uma extremidade.
Vamos considerar uma barra homogênea de comprimento L e massa M girando em torno de uma das extremidades. O momento de inércia para esse caso é:
I = 13 M L^2
Então, a energia cinética ( Ec) é:
Ec = 12 I omega^2 = 12 ( 13 M L^2 ) omega^2 = 16 M L^2 omega^2

Passo 12

(k) Calcular a energia cinética da mesma barra girando ao redor de seu centro.
Agora, a barra está girando em torno de seu centro. O momento de inércia para esse caso é:
I = 112 M L^2
Então, a energia cinética ( Ec) é:
Ec = 12 I omega^2 = 12 ( 112 M L^2 ) omega^2 = 124 M L^2 omega^2

Passo 13

(l) Usar o teorema dos eixos paralelos para mostrar que as respostas aos itens anteriores estão corretas.
O Teorema dos Eixos Paralelos afirma que se você conhece o momento de inércia de um objeto em seu centro de massa ( Icm), então o momento de inércia em qualquer outro eixo paralelo a este, a uma distância d do centro de massa, é:
I = Icm + M d^2
Para girar a barra ao redor de uma extremidade:
  • Icm = 112 M L^2
  • d = L2
  • Então,
I = 112 M L^2 + M ( L2 )^2 = 112 M L^2 + 14 M L^2 = 13 M L^2
Para girar a barra ao redor do centro:
  • Já usamos diretamente Icm = 112 M L^2
Isso confirma que as expressões calculadas nos itens (j) e (k) estão corretas.

Resposta

Resolvemos cada parte do exercício envolvendo energia cinética, velocidade, ângulo e velocidade angular, aplicando definições e fórmulas apropriadas. Calculamos a energia cinética para sistemas com uma, duas, muitas e infinitas partículas, e aplicamos o Teorema dos Eixos Paralelos para validar os momentos de inércia e as expressões de energia cinética para uma barra girando ao redor de uma extremidade e de seu centro.

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