1 (Energia cinética e trabalho - 3 pontos) Um bloco de massa
está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito quando uma força ao longo de um eixo
é aplicada ao bloco. A força é dada por
, onde
está em metros e a posição inicial é
.
a) Qual é a energia cinética do bloco ao passar pelo ponto
?
b) Qual é a energia cinética máxima entre
e
.
a) Qual é a energia cinética do bloco ao passar pelo ponto
b) Qual é a energia cinética máxima entre
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
-
Dados fornecidos:
(massa do bloco).
O bloco parte do repouso em .
A força aplicada ao longo do eixo é dada por . (Aqui eu peguei a componente da força da própria expressão do enunciado.)
O intervalo de interesse para a parte (b) é . -
Perguntas:
(a) Qual é a energia cinética do bloco ao passar por?
(b) Qual é a energia cinética máxima entree ?
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicado): quando não há atrito, a variação da energia cinética de um corpo entre duas posições é igual ao trabalho realizado pela força resultante ao longo desse deslocamento. Isso é o Teorema Trabalho-Energia. Escrevendo:
onde
é a energia cinética quando o bloco está em
,
é a energia cinética inicial, e
é o trabalho realizado pela força ao deslocar o bloco de
até
. Aqui cada símbolo significa:
-
em joules ; -
em joules ; - a força na direção
é em newtons.
Como o bloco parte do repouso, temos
. Então
.
Passo 3
Como a força é uma função de
, o trabalho entre
e
é a integral da componente
da força em relação a
. Ou seja,
Explico a integral:
soma os pequenos trabalhos
ao longo do trajeto; aqui
é uma variável de integração representando posições entre
e
.
Agora calculamos essa integral passo a passo.
Passo 4
Calcule a integral:
Portanto obtemos a expressão geral para a energia cinética em função de
:
Confirme: para
dá
, consistente com o repouso inicial.
Passo 5
Parte (a): avaliar
em
.
Substituindo
na expressão:
Em decimal (aproximado):
Interpretação curta: esse valor é o trabalho total que a força realizou do repouso até
, e portanto a energia cinética adquirida.
Passo 6
Parte (b): achar a energia cinética máxima no intervalo
.
Estratégia didática: uma função
tem máximos internos quando sua derivada é zero (pontos críticos), e também devemos verificar as extremidades do intervalo. Aqui a derivada é
que coincide com a componente da força
(isso tem sentido físico: onde a força é zero muda o crescimento/decrescimento da energia).
Resolva
:
No intervalo
só interessa a raiz positiva
Agora avaliamos
nos candidatos:
,
,
.
Passo 7
Avaliações:
-
(já visto). -
Em
:
Observação importante (didática): energia cinética não pode ser negativa na realidade; o resultado negativo aqui indica que, se seguíssemos a expressão matemática
, o trabalho total se tornou negativo (a força desacelera o bloco) e o bloco teria sido parado e invertido de sentido antes de chegar a
. Portanto o valor negativo simplesmente confirma que não existe energia cinética real negativa naquele ponto — na prática o bloco já teria parado antes. Isso NÃO muda onde está o máximo de
no intervalo: o máximo interno determinado pelo ponto crítico onde a força muda de sinal é o que buscamos.
- Em
, usando a expressão geral:
Como
, temos
. Substituindo:
Simplificando
:
Substituindo
:
Valor numérico aproximado:
Conclusão: entre
e
a energia cinética atinge seu máximo em
e o valor é dado acima.