1 (Energia cinética e trabalho - 3 pontos) Um bloco de massa m=5 K g está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito quando uma força ao longo de um eixo x é aplicada ao bloco. A força é dada por \vec{F}(x)=\left(5,5-x^{2}\right) \vec{i} N, onde x está em metros e a posição inicial é \mathrm{x}=0.
a) Qual é a energia cinética do bloco ao passar pelo ponto x=2 m ?
b) Qual é a energia cinética máxima entre x=0 e x=5,0 m.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Dados fornecidos:
    \;m=5\\ \mathrm{kg} (massa do bloco).
    \;O bloco parte do repouso em x=0.
    \;A força aplicada ao longo do eixo x é dada por \displaystyle \vec{F}(x)=\bigl(5{,}5-x^{2}\bigr)\,\vec{i}\\ \mathrm{N}. (Aqui eu peguei a componente da força da própria expressão do enunciado.)
    \;O intervalo de interesse para a parte (b) é 0\le x\le 5{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Perguntas:
    (a) Qual é a energia cinética do bloco ao passar por x=2{,}0\\ \mathrm{m}?
    (b) Qual é a energia cinética máxima entre x=0 e x=5{,}0\\ \mathrm{m}?

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicado): quando não há atrito, a variação da energia cinética de um corpo entre duas posições é igual ao trabalho realizado pela força resultante ao longo desse deslocamento. Isso é o Teorema Trabalho-Energia. Escrevendo:
\Delta K = K(x)-K(0)=W_{0\to x},
onde K(x) é a energia cinética quando o bloco está em x, K(0) é a energia cinética inicial, e W_{0\to x} é o trabalho realizado pela força ao deslocar o bloco de x=0 até x. Aqui cada símbolo significa:
  • K em joules (\mathrm{J});
  • W em joules (\mathrm{J});
  • a força na direção x é \;F_x(x)=5{,}5-x^2 em newtons.
Como o bloco parte do repouso, temos K(0)=0. Então K(x)=W_{0\to x}.

Passo 3

Como a força é uma função de x, o trabalho entre x=0 e x é a integral da componente x da força em relação a x. Ou seja,
W_{0\to x}=\int_{0}^{x} F_x(s)\,ds=\int_{0}^{x} \bigl(5{,}5 - s^{2}\bigr)\,ds.
Explico a integral: \int_{0}^{x} f(s)\,ds soma os pequenos trabalhos f(s)\,ds ao longo do trajeto; aqui s é uma variável de integração representando posições entre 0 e x.
Agora calculamos essa integral passo a passo.

Passo 4

Calcule a integral:
\int_{0}^{x} \bigl(5{,}5 - s^{2}\bigr)\,ds = \left[5{,}5\,s - \frac{s^{3}}{3}\right]_{0}^{x} = 5{,}5\,x - \frac{x^{3}}{3}.
Portanto obtemos a expressão geral para a energia cinética em função de x:
K(x)=5{,}5\,x-\frac{x^{3}}{3}\quad(\mathrm{J}).
Confirme: para x=0 K(0)=0, consistente com o repouso inicial.

Passo 5

Parte (a): avaliar K(x) em x=2{,}0\\ \mathrm{m}.
Substituindo x=2 na expressão:
K(2)=5{,}5\cdot 2 - \frac{2^{3}}{3} =11 - \frac{8}{3}=\frac{33-8}{3}=\frac{25}{3}\\ \mathrm{J}.
Em decimal (aproximado):
K(2)\approx 8{,}333\\ \mathrm{J}.
Interpretação curta: esse valor é o trabalho total que a força realizou do repouso até x=2, e portanto a energia cinética adquirida.

Passo 6

Parte (b): achar a energia cinética máxima no intervalo 0\le x\le 5{,}0.
Estratégia didática: uma função K(x) tem máximos internos quando sua derivada é zero (pontos críticos), e também devemos verificar as extremidades do intervalo. Aqui a derivada é
\frac{dK}{dx}=5{,}5 - x^{2},
que coincide com a componente da força F_x(x) (isso tem sentido físico: onde a força é zero muda o crescimento/decrescimento da energia).
Resolva \dfrac{dK}{dx}=0:
5{,}5 - x^{2}=0 \Longrightarrow x^{2}=5{,}5 \Longrightarrow x=\sqrt{5{,}5}.
No intervalo 0\le x\le 5{,}0 só interessa a raiz positiva
x_{c}=\sqrt{5{,}5}\approx 2{,}345\\ \mathrm{m}.
Agora avaliamos K(x) nos candidatos: x=0, x=x_{c}, x=5.

Passo 7

Avaliações:
  • K(0)=0 (já visto).
  • Em x=5:
K(5)=5{,}5\cdot 5 - \frac{5^{3}}{3}=27{,}5 - \frac{125}{3}=27{,}5-41{,}666\ldots=-14{,}166\ldots\\ \mathrm{J}.
Observação importante (didática): energia cinética não pode ser negativa na realidade; o resultado negativo aqui indica que, se seguíssemos a expressão matemática K(x), o trabalho total se tornou negativo (a força desacelera o bloco) e o bloco teria sido parado e invertido de sentido antes de chegar a x=5. Portanto o valor negativo simplesmente confirma que não existe energia cinética real negativa naquele ponto — na prática o bloco já teria parado antes. Isso NÃO muda onde está o máximo de K no intervalo: o máximo interno determinado pelo ponto crítico onde a força muda de sinal é o que buscamos.
  • Em x=x_{c}=\sqrt{5{,}5}, usando a expressão geral:
K(x_{c})=5{,}5\,x_{c}-\frac{x_{c}^{3}}{3}.
Como x_{c}^{2}=5{,}5, temos x_{c}^{3}=5{,}5\,x_{c}. Substituindo:
K(x_{c})=5{,}5\,x_{c}-\frac{5{,}5\,x_{c}}{3} =5{,}5\,x_{c}\left(1-\frac{1}{3}\right) =5{,}5\,x_{c}\cdot\frac{2}{3}.
Simplificando 5{,}5=\dfrac{11}{2}:
K(x_{c})=\frac{11}{2}\,x_{c}\cdot\frac{2}{3}=\frac{11\,x_{c}}{3}.
Substituindo x_{c}=\sqrt{5{,}5}:
K_{\max}=K(x_{c})=\frac{11}{3}\sqrt{5{,}5}\\ \mathrm{J}.
Valor numérico aproximado:
K_{\max}\approx 8{,}599\\ \mathrm{J}.
Conclusão: entre 0 e 5{,}0\\ \mathrm{m} a energia cinética atinge seu máximo em x=\sqrt{5{,}5} e o valor é dado acima.

Resposta

a)\\ K(2{,}0\\ \mathrm{m})=\dfrac{25}{3}\\ \mathrm{J}\approx 8{,}333\\ \mathrm{J}
b)\\ K_{\max}=\dfrac{11}{3}\sqrt{5{,}5}\\ \mathrm{J}\approx 8{,}599\\ \mathrm{J}

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