1 (Energia cinética e trabalho - 3 pontos) Um bloco de massa m=4 K g está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito quando uma força ao longo de um eixo x é aplicada ao bloco. A força é dada por \vec{F}(x)=\left(4,5-x^{2}\right) \vec{i} N, onde x está em metros e a posição inicial é \mathrm{x}=0.
a) Qual é a energia cinética do bloco ao passar pelo ponto x=3,0 m ?
b) Qual é a energia cinética máxima entre x=0 e x=5,0 m.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) A energia cinética do bloco ao passar por x=3{,}0\\ \mathrm{m}.
  2. (b) A energia cinética máxima no intervalo 0\le x\le 5{,}0\\ \mathrm{m}.
Informações dadas (vou listar tudo com calma):
  • Massa: m=4\\ \mathrm{kg}.
  • A força aplicada é ao longo do eixo x e, pelo enunciado (usei a vírgula decimal que está no enunciado), é
\vec{F}(x)=\bigl(4{,}5 - x^{2}\bigr)\,\vec{i}\\ \mathrm{N},
onde x está em metros. Ou seja, o valor da força na direção x é F_x(x)=4{,}5-x^{2} newtons.
  • A posição inicial é x=0 e o bloco está em repouso inicialmente, então a energia cinética inicial K(0)=0.
Eu não resolvi nada ainda — só organizei o que o problema pede e tudo o que sabemos.

Passo 2

Ferramenta principal (aquela que salva na prova): o teorema trabalho-energia. Ele diz que a variação da energia cinética do corpo é igual ao trabalho total realizado sobre ele. Como não há atrito e a força está somente na direção x, o trabalho escalar realizado pela força enquanto o bloco se desloca de x=a para x=b é dado por
W_{a\to b}=\int_{a}^{b} F_x(x)\,dx,
onde F_x(x) é a componente da força ao longo do deslocamento e dx é o elemento de deslocamento na direção x.
Como o bloco parte do repouso em x=0, a energia cinética em uma posição x será simplesmente o trabalho realizado desde 0 até x:
K(x)=K(0)+W_{0\to x}=0+\int_{0}^{x} \bigl(4{,}5 - t^{2}\bigr)\,dt.
Aqui usei t como variável de integração para não confundir o limite superior x com a variável de integração.
Breve explicação do que é cada coisa:
  • K(x) é a energia cinética quando o bloco está na posição x.
  • F_x(x)=4{,}5-x^{2} é a força ao longo de x em newtons.
  • A integral soma infinitesimais de força vezes deslocamento, que é o trabalho em joules.

Passo 3

Vamos calcular a energia cinética em x=3{,}0\\ \mathrm{m} usando a fórmula anterior. Primeiro obtenho a primitiva de 4{,}5 - t^{2}:
\int \bigl(4{,}5 - t^{2}\bigr)\,dt = 4{,}5\,t - \frac{t^{3}}{3} + C.
Agora avalio o trabalho de 0 a 3:
K(3)=\int_{0}^{3} \bigl(4{,}5 - t^{2}\bigr)\,dt = \Bigl[4{,}5\,t - \frac{t^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{3}.
Calculo os termos:
  • Em t=3: 4{,}5\cdot 3 - \dfrac{3^{3}}{3}=13{,}5 - \dfrac{27}{3}=13{,}5 - 9=4{,}5.
  • Em t=0: é 0.
Portanto
K(3)=4{,}5\\ \mathrm{J}.
Interpretação física rápida: o trabalho total do início até 3{,}0\\ \mathrm{m} foi 4{,}5\\ \mathrm{J}, e como começou em repouso, essa é a energia cinética nesse ponto.

Passo 4

Para a parte (b) queremos o máximo de K(x) para 0\le x\le 5. Já temos uma expressão geral para K(x); vamos construí-la explicitamente:
K(x)=\int_{0}^{x} \bigl(4{,}5 - t^{2}\bigr)\,dt =4{,}5\,x-\frac{x^{3}}{3}.
Esse é um polinômio em x. Para achar máximos num intervalo fechado, avaliamos pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) e os extremos do intervalo.
Calcule a derivada de K(x) em relação a x:
\frac{dK}{dx}=4{,}5 - x^{2}.
Observação importante (útil na prova): a derivada de K(x) é justamente a força F_x(x). Isso faz sentido físico: onde a força é positiva, K aumenta; onde a força é negativa, K diminui.
Agora achamos pontos críticos resolvendo \dfrac{dK}{dx}=0:
4{,}5 - x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=4{,}5 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{4{,}5}.
No nosso intervalo 0\le x\le 5 só interessa x=\sqrt{4{,}5}. Note que \sqrt{4{,}5}=\sqrt{\tfrac{9}{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2{,}121\\ \mathrm{m}, que está dentro do intervalo.
Também verificamos os extremos do intervalo: x=0 e x=5. Vamos calcular K nesses três pontos: x=0, x=\sqrt{4{,}5}, x=5.

Passo 5

Calcule K nos pontos citados:
  1. x=0:
K(0)=4{,}5\cdot 0 - \frac{0^{3}}{3}=0.
  1. x=\sqrt{4{,}5}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}. Vou calcular K simbolicamente para obter uma forma exata:
K\Bigl(\frac{3}{\sqrt{2}}\Bigr)=4{,}5\cdot\frac{3}{\sqrt{2}}-\frac{1}{3}\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^{3}.
Calcule passo a passo:
  • Primeiro termo: 4{,}5\cdot\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{9}{2}\cdot\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{27}{2\sqrt{2}}.
  • Segundo termo: \left(\dfrac{3}{\sqrt{2}}\right)^{3}=\dfrac{27}{2\sqrt{2}} porque (\sqrt{2})^{3}=2\sqrt{2}. Então \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{3}{\sqrt{2}}\right)^{3}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{27}{2\sqrt{2}}=\dfrac{9}{2\sqrt{2}}.
    Subtraindo:
K\Bigl(\frac{3}{\sqrt{2}}\Bigr)=\frac{27}{2\sqrt{2}}-\frac{9}{2\sqrt{2}}=\frac{18}{2\sqrt{2}}=\frac{9}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}.
Em valor numérico aproximado,
\frac{9\sqrt{2}}{2}\approx 6{,}36396\\ \mathrm{J}\quad(\text{ou }6{,}36\\ \mathrm{J}\text{ com duas casas}).
  1. x=5:
K(5)=4{,}5\cdot 5 - \frac{5^{3}}{3}=22{,}5 - \frac{125}{3}=22{,}5 - 41{,}6\overline{6}\approx -19{,}166\ldots\\ \mathrm{J}.
Esse valor negativo indica que a integral do trabalho até x=5 é negativa; fisicamente isso significa que o bloco, partindo do repouso, jamais atinge x=5 porque a energia cinética não pode ser negativa — ele já teria parado antes (em fato, K(x)=0 novamente em x=\sqrt{27/2}\approx 3{,}674\\ \mathrm{m}). Mas para responder a pergunta do enunciado (energia cinética máxima no intervalo) basta comparar os valores calculados.
Comparando:
  • K(0)=0,
  • K\bigl(\sqrt{4{,}5}\bigr)=\dfrac{9\sqrt{2}}{2}\approx 6{,}36\\ \mathrm{J},
  • K(5) é negativo (não relevante como máximo porque é menor).
Portanto o máximo de K no intervalo é K_{\max}=\dfrac{9\sqrt{2}}{2}\\ \mathrm{J} atingido em x=\sqrt{4{,}5}\approx 2{,}121\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Resumo curto e incentivo: conseguimos! Usei o teorema trabalho-energia (integral da força ao longo do deslocamento) e derivadas para identificar o ponto onde a energia para de crescer e começa a cair. Se estiver nervoso na prova, lembra: primeiro escreva K(x)=\int_{0}^{x}F(x)\,dx, calcule a primitiva, depois derive para achar máximos — método direto e seguro.

Resposta

(a) K(3{,}0\\ \mathrm{m})=4{,}5\\ \mathrm{J}
(b) K_{\max}=\dfrac{9\sqrt{2}}{2}\\ \mathrm{J}\approx 6{,}36\\ \mathrm{J}

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