1 (Energia cinética e trabalho - 3 pontos) Um bloco de massa
está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito quando uma força ao longo de um eixo
é aplicada ao bloco. A força é dada por
, onde
está em metros e a posição inicial é
.
a) Qual é a energia cinética do bloco ao passar pelo ponto
?
b) Qual é a energia cinética máxima entre
e
.
a) Qual é a energia cinética do bloco ao passar pelo ponto
b) Qual é a energia cinética máxima entre
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) A energia cinética do bloco ao passar por
. - (b) A energia cinética máxima no intervalo
.
Informações dadas (vou listar tudo com calma):
- Massa:
. - A força aplicada é ao longo do eixo
e, pelo enunciado (usei a vírgula decimal que está no enunciado), é
onde
está em metros. Ou seja, o valor da força na direção
é
newtons.
- A posição inicial é
e o bloco está em repouso inicialmente, então a energia cinética inicial .
Eu não resolvi nada ainda — só organizei o que o problema pede e tudo o que sabemos.
Passo 2
Ferramenta principal (aquela que salva na prova): o teorema trabalho-energia. Ele diz que a variação da energia cinética do corpo é igual ao trabalho total realizado sobre ele. Como não há atrito e a força está somente na direção
, o trabalho escalar realizado pela força enquanto o bloco se desloca de
para
é dado por
onde
é a componente da força ao longo do deslocamento e
é o elemento de deslocamento na direção
.
Como o bloco parte do repouso em
, a energia cinética em uma posição
será simplesmente o trabalho realizado desde
até
:
Aqui usei
como variável de integração para não confundir o limite superior
com a variável de integração.
Breve explicação do que é cada coisa:
-
é a energia cinética quando o bloco está na posição . -
é a força ao longo de em newtons. - A integral soma infinitesimais de força vezes deslocamento, que é o trabalho em joules.
Passo 3
Vamos calcular a energia cinética em
usando a fórmula anterior. Primeiro obtenho a primitiva de
:
Agora avalio o trabalho de
a
:
Calculo os termos:
- Em
: . - Em
: é .
Portanto
Interpretação física rápida: o trabalho total do início até
foi
, e como começou em repouso, essa é a energia cinética nesse ponto.
Passo 4
Para a parte (b) queremos o máximo de
para
. Já temos uma expressão geral para
; vamos construí-la explicitamente:
Esse é um polinômio em
. Para achar máximos num intervalo fechado, avaliamos pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) e os extremos do intervalo.
Calcule a derivada de
em relação a
:
Observação importante (útil na prova): a derivada de
é justamente a força
. Isso faz sentido físico: onde a força é positiva,
aumenta; onde a força é negativa,
diminui.
Agora achamos pontos críticos resolvendo
:
No nosso intervalo
só interessa
. Note que
, que está dentro do intervalo.
Também verificamos os extremos do intervalo:
e
. Vamos calcular
nesses três pontos:
,
,
.
Passo 5
Calcule
nos pontos citados:
-
:
-
. Vou calcular simbolicamente para obter uma forma exata:
Calcule passo a passo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
porque . Então
Subtraindo:
Em valor numérico aproximado,
-
:
Esse valor negativo indica que a integral do trabalho até
é negativa; fisicamente isso significa que o bloco, partindo do repouso, jamais atinge
porque a energia cinética não pode ser negativa — ele já teria parado antes (em fato,
novamente em
). Mas para responder a pergunta do enunciado (energia cinética máxima no intervalo) basta comparar os valores calculados.
Comparando:
-
, -
, -
é negativo (não relevante como máximo porque é menor).
Portanto o máximo de
no intervalo é
atingido em
.
Passo 6
Resumo curto e incentivo: conseguimos! Usei o teorema trabalho-energia (integral da força ao longo do deslocamento) e derivadas para identificar o ponto onde a energia para de crescer e começa a cair. Se estiver nervoso na prova, lembra: primeiro escreva
, calcule a primitiva, depois derive para achar máximos — método direto e seguro.
Resposta
(a)
(b)