1 (Energia cinética e trabalho - 3 pontos) Um bloco de massa m=3 K g está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito quando uma força ao longo de um eixo x é aplicada ao bloco. A força é dada por \vec{F}(x)=\left(3,5-x^{2}\right) \vec{i} N, onde x está em metros e a posição inicial é \mathrm{x}=0.
a) Qual é a energia cinética do bloco ao passar pelo ponto x=2 m ?
b) Qual é a energia cinética máxima entre x=0 e x=3,0 m.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (resumindo para não nos perder):
  • Massa do bloco: m=3\\ \mathrm{kg}.
  • Força aplicada ao longo do eixo x: \vec{F}(x)=(3,5 - x^{2})\,\vec{i}\\ \mathrm{N}, onde x está em metros. (Peguei este dado do enunciado.)
  • Posição inicial: x=0 e o bloco está inicialmente em repouso (velocidade inicial v_0=0).
  • Perguntas:
    a) Qual é a energia cinética do bloco ao passar por x=2\\ \mathrm{m}?
    b) Qual é a energia cinética máxima para x no intervalo [0,\,3,0]\\ \mathrm{m}?

Passo 2

Princípio que vamos usar e por que ele vale aqui (aula curta e prática):
  • Teorema trabalho-energia: o trabalho líquido realizado sobre um corpo é igual à variação da sua energia cinética. Em fórmula:
W_{0\to x}= \Delta K = K(x)-K(0).
Aqui W_{0\to x} é o trabalho realizado pela força ao deslocar o bloco de x=0 até x; K(x) é a energia cinética no ponto x e K(0) é a energia cinética inicial.
  • Como o bloco parte do repouso, K(0)=0. Logo
K(x)=W_{0\to x}.
  • Para uma força dependente de x atuando paralela ao deslocamento, o trabalho é a integral do componente da força ao longo do deslocamento:
W_{0\to x}=\int_{0}^{x} F_x(\xi)\,d\xi,
onde \xi é a variável de integração (substituímos x por \xi dentro da integral para ficar claro que estamos somando contribuições ao longo do caminho).
Explicando as variáveis: F_x(\xi) é a componente da força na direção x avaliada na posição \xi; d\xi é um pequeno deslocamento em x.

Passo 3

Montando a integral específica da força do enunciado:
  • Temos F_x(x)=3,5 - x^{2}. Então a energia cinética como função da posição é
K(x)=\int_{0}^{x} \bigl(3,5-\xi^{2}\bigr)\,d\xi.
  • Calculamos a antiderivada (mostrando cada passo):
    A antiderivada de 3,5 em relação a \xi é 3,5\,\xi.
    A antiderivada de \xi^{2} é \dfrac{\xi^{3}}{3}.
    Portanto uma antiderivada de 3,5-\xi^{2} é
3,5\,\xi-\frac{\xi^{3}}{3}.
  • Assim, aplicando os limites de 0 a x:
K(x)=\left[\,3,5\,\xi-\frac{\xi^{3}}{3}\,\right]_{0}^{x}=3,5\,x-\frac{x^{3}}{3}.
Isto é uma expressão explícita para a energia cinética em função da posição x (em joules).

Passo 4

Resposta da parte (a) — energia cinética ao passar por x=2\\ \mathrm{m}:
  • Usamos a fórmula K(x)=3,5x-\dfrac{x^{3}}{3} e substituímos x=2:
K(2)=3,5\cdot 2-\frac{2^{3}}{3}.
  • Calculando passo a passo:
3,5\cdot 2=7,\qquad 2^{3}=8,\qquad \frac{8}{3}=\frac{8}{3}.
K(2)=7-\frac{8}{3}=\frac{21-8}{3}=\frac{13}{3}\\ \mathrm{J}.
  • Em decimal isto é aproximadamente 4,333\ldots\\ \mathrm{J}. Portanto a energia cinética ao passar por x=2\\ \mathrm{m} é \dfrac{13}{3}\\ \mathrm{J} (ou aproximadamente 4,33\\ \mathrm{J}).

Passo 5

Resposta da parte (b) — energia cinética máxima em 0\le x\le 3,0\\ \mathrm{m}: como achar o máximo de K(x) no intervalo
  • Temos a função K(x)=3,5x-\dfrac{x^{3}}{3} no intervalo [0,3]. Para achar máximos internos, derivamos K(x) e igualamos a zero:
    A derivada é
\frac{dK}{dx}=3,5 - x^{2}.
(Isto também faz sentido fisicamente: a taxa de variação de K com x é a própria força F_x(x).)
  • Procuramos pontos críticos resolvendo \dfrac{dK}{dx}=0:
3,5-x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=3,5 \quad\Rightarrow\quad x=\sqrt{3,5}.
Como estamos no intervalo [0,3] tomamos a raiz positiva:
x_{c}=\sqrt{3,5}\approx 1,8708\\ \mathrm{m},
que está dentro do intervalo.
  • Verificamos que é máximo: a segunda derivada é
\frac{d^{2}K}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}\bigl(3,5-x^{2}\bigr)=-2x.
Em x=x_{c}>0 temos \dfrac{d^{2}K}{dx^{2}}=-2x_{c}<0, portanto é um ponto de máximo local. Como os valores em x=0 e x=3 são menores (verificação rápida abaixo), este é o máximo global no intervalo.
  • Calculamos K nesse ponto crítico:
K(x_{c})=3,5\,x_{c}-\frac{x_{c}^{3}}{3}.
Como x_{c}^{2}=3,5, podemos simplificar x_{c}^{3}=x_{c}\,x_{c}^{2}=x_{c}\cdot 3,5. Substituindo:
K(x_{c})=3,5\,x_{c}-\frac{3,5\,x_{c}}{3}=3,5\,x_{c}\left(1-\frac{1}{3}\right)=3,5\,x_{c}\cdot\frac{2}{3}.
K(x_{c})=\frac{7}{3}\,x_{c}=\frac{7}{3}\sqrt{3,5}.
  • Valor numérico:
\sqrt{3,5}\approx 1,8708287\quad\Rightarrow\quad K(x_{c})\approx \frac{7}{3}\cdot 1,8708287\approx 4,3653\\ \mathrm{J}.
  • Para confirmar que é maior que nos extremos: K(0)=0 e
K(3)=3,5\cdot 3-\frac{27}{3}=10,5-9=1,5\\ \mathrm{J},
então K(x_{c}) é realmente o máximo no intervalo.

Resposta

a) \dfrac{13}{3}\\ \mathrm{J} (aprox. 4,33\\ \mathrm{J}).
b) K_{\max}=\dfrac{7}{3}\sqrt{3,5}\\ \mathrm{J} (aprox. 4,365\\ \mathrm{J}), ocorre em x=\sqrt{3,5}\\ \mathrm{m}.

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