1 (Energia cinética e trabalho - 3 pontos) Um bloco de massa
está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito quando uma força ao longo de um eixo
é aplicada ao bloco. A força é dada por
, onde
está em metros e a posição inicial é
.
a) Qual é a energia cinética do bloco ao passar pelo ponto
?
b) Qual é a energia cinética máxima entre
e
.
a) Qual é a energia cinética do bloco ao passar pelo ponto
b) Qual é a energia cinética máxima entre
Passo 1
Enunciado e dados importantes (resumindo para não nos perder):
- Massa do bloco:
. - Força aplicada ao longo do eixo
: , onde está em metros. (Peguei este dado do enunciado.) - Posição inicial:
e o bloco está inicialmente em repouso (velocidade inicial ). - Perguntas:
a) Qual é a energia cinética do bloco ao passar por?
b) Qual é a energia cinética máxima parano intervalo ?
Passo 2
Princípio que vamos usar e por que ele vale aqui (aula curta e prática):
- Teorema trabalho-energia: o trabalho líquido realizado sobre um corpo é igual à variação da sua energia cinética. Em fórmula:
Aqui
é o trabalho realizado pela força ao deslocar o bloco de
até
;
é a energia cinética no ponto
e
é a energia cinética inicial.
- Como o bloco parte do repouso,
. Logo
- Para uma força dependente de
atuando paralela ao deslocamento, o trabalho é a integral do componente da força ao longo do deslocamento:
onde
é a variável de integração (substituímos
por
dentro da integral para ficar claro que estamos somando contribuições ao longo do caminho).
Explicando as variáveis: é a componente da força na direção
avaliada na posição
;
é um pequeno deslocamento em
.
Explicando as variáveis:
Passo 3
Montando a integral específica da força do enunciado:
- Temos
. Então a energia cinética como função da posição é
- Calculamos a antiderivada (mostrando cada passo):
A antiderivada deem relação a é .
A antiderivada deé .
Portanto uma antiderivada deé
- Assim, aplicando os limites de
a :
Isto é uma expressão explícita para a energia cinética em função da posição
(em joules).
Passo 4
Resposta da parte (a) — energia cinética ao passar por
:
- Usamos a fórmula
e substituímos :
- Calculando passo a passo:
- Em decimal isto é aproximadamente
. Portanto a energia cinética ao passar por é (ou aproximadamente ).
Passo 5
Resposta da parte (b) — energia cinética máxima em
: como achar o máximo de
no intervalo
- Temos a função
no intervalo . Para achar máximos internos, derivamos e igualamos a zero:
A derivada é
(Isto também faz sentido fisicamente: a taxa de variação de
com
é a própria força
.)
- Procuramos pontos críticos resolvendo
:
Como estamos no intervalo
tomamos a raiz positiva:
que está dentro do intervalo.
- Verificamos que é máximo: a segunda derivada é
Em
temos
, portanto é um ponto de máximo local. Como os valores em
e
são menores (verificação rápida abaixo), este é o máximo global no intervalo.
- Calculamos
nesse ponto crítico:
Como
, podemos simplificar
. Substituindo:
- Valor numérico:
- Para confirmar que é maior que nos extremos:
e
então
é realmente o máximo no intervalo.
Resposta
a)
(aprox.
).
b) (aprox.
), ocorre em
.
b)