(H7)A energia de um circuito LC oscilante que contém um indutor de 1,25 \mathrm{H} é 5,70 \mu \mathrm{~J}. A carga máxima do capacitor é 1,75 \mu \mathrm{~J}. Para um sistema mecânico com o mesmo período determine (a) a massa, (b) a constante da mola, (c) o deslocamento máximo e (d) a velocidade escalar máxima.
R:(a) 1,25 \mathrm{~kg},(b) 372 \mathrm{~N} / \mathrm{m}\text{(c)} 1,75 \times 10^{-4} \mathrm{~m},
\text { (d) } 3,02 \mathrm{~mm} / \mathrm{s} \text {. }

Passo 1

O enunciado nos dá um circuito LC com indutância L=1,25\\ \mathrm H, energia total armazenada U=5,70\times10^{-6}\\ \mathrm J e carga máxima no capacitor Q_{\max}=1,75\times10^{-4}\\ \mathrm C. Queremos montar um sistema massa-mola que oscile com o mesmo período e determinar (a) a massa m, (b) a constante elástica k, (c) o deslocamento máximo x_{\max} e (d) a velocidade máxima v_{\max}. Vamos usar: energia no capacitor, analogia das equações de oscilação e conservação de energia para o sistema mecânico.

Passo 2

Quando toda a energia está no capacitor, vale
U \;=\;\frac{Q_{\max}^2}{2\,C}\,,
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C \;=\;\frac{Q_{\max}^2}{2\,U} \;=\;\frac{\bigl(1,75\times10^{-4}\bigr)^2}{2\cdot5,70\times10^{-6}} \approx2,69\times10^{-3}\\ \mathrm F.

Passo 3

A equação de oscilação do circuito LC é
L\,\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1}{C}\,q=0,
e a do sistema massa-mola é
m\,\frac{d^2x}{dt^2}+k\,x=0.
Comparando, vemos que
m = L = 1,25\\ \mathrm{kg}, \quad k = \frac1C \approx \frac1{2,69\times10^{-3}}\approx372\\ \mathrm{N/m}.

Passo 4

No sistema massa-mola a energia total é
U = \frac12\,k\,x_{\max}^2,
de onde
x_{\max} = \sqrt{\frac{2\,U}{k}} = \sqrt{\frac{2\cdot5,70\times10^{-6}}{372}} \approx1,75\times10^{-4}\\ \mathrm m.

Passo 5

A velocidade máxima ocorre em x=0 e vale
v_{\max} = \omega\,x_{\max}, \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{372}{1,25}}\approx17,25\\ \mathrm{s^{-1}},
portanto
v_{\max} \approx17,25\cdot1,75\times10^{-4}\approx3,02\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s} \;=\;3,02\\ \mathrm{mm/s}.

Resposta

(a) 1,25\\ \mathrm{kg}
(b) 372\\ \mathrm{N/m}
(c) 1,75\times10^{-4}\\ \mathrm m
(d) 3,02\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s} (ou 3,02\\ \mathrm{mm/s})

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