Qual é a energia do estado fundamental de sete bósons que não interagem, numa caixa unidimensional de comprimento L? (bósons tem spin inteiros) R.: 7 h^2 / 8 mL^2

Passo 1

Beleza, então a gente tem sete bósons que não estão interagindo entre si, e eles estão presos dentro de uma caixa que é bem longa na direção de um. A missão aqui é descobrir qual é a energia total desses sete bósons no estado fundamental, ou seja, quando eles estão na configuração de menor energia possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica sobre partículas em uma caixa unidimensional e as propriedades dos bósons.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a energia dos estados de uma partícula em uma caixa unidimensional. A energia dos níveis quânticos para uma partícula nessa situação é dada pela fórmula:
En = n^2 h^28 m L^2
Aqui, $ E_n $ é a energia do nível $ n $, $ h $ é a constante de Planck, $ m $ é a massa da partícula, e $ L $ é o comprimento da caixa.

Passo 3

Agora, como estamos lidando com bósons, que são partículas com spin inteiro, eles seguem a estatística de Bose-Einstein. Uma propriedade importante dos bósons é que eles podem ocupar o mesmo estado quântico sem restrição. Isso significa que todos os sete bósons podem ficar no estado de menor energia disponível, que é o estado $ n = 1 $.

Passo 4

Vamos calcular a energia de um único bóson no estado fundamental $ n = 1 $:
n = 1
Como temos sete bósons, e todos estão no estado $ n = 1 $, a energia total $ E_{total} $ será sete vezes a energia de um único bóson:
E1 = 1^2 h^28 m L^2 = h^28 m L^2

Resposta

A energia do estado fundamental de sete bósons não interagindo numa caixa unidimensional de comprimento $ L $ é:
L

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