Qual é a energia do estado fundamental de sete férmions que não interagem, numa caixa unidimensional de comprimento L? (férmions tem spin semi-inteiros) R.: 44 h^2 / 8 mL^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar a energia do estado fundamental de sete férmions não interagindo em uma caixa unidimensional de comprimento $ L $. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas em uma caixa quântica. Para resolver isso, vamos precisar entender como os férmions ocupam os níveis de energia disponíveis e aplicar a Princípio de Exclusão de Pauli, que diz que dois férmions não podem ocupar o mesmo estado quântico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular os níveis de energia para uma partícula em uma caixa unidimensional. A energia dos estados quânticos é dada pela fórmula:
En = n^2 h^28 m L^2
Aqui:
  • $ E_n $ é a energia do nível $ n $
  • $ h $ é a constante de Planck
  • $ m $ é a massa da partícula (no caso, dos férmions)
  • $ L $ é o comprimento da caixa
  • $ n $ é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …)

Passo 3

Como os férmions têm spin semi-inteiro, cada nível de energia pode acomodar dois férmions (um com spin para cima e outro com spin para baixo). Então, vamos distribuir os sete férmions nos menores níveis de energia disponíveis sem que dois férmions ocupem exatamente o mesmo estado quântico.

Passo 4

Vamos listar os níveis de energia e ver como os férmions se distribuem:
  • Nível 1 ($ n=1 $): Pode acomodar 2 férmions
  • Nível 2 ($ n=2 $): Pode acomodar 2 férmions
  • Nível 3 ($ n=3 $): Pode acomodar 2 férmions
  • Nível 4 ($ n=4 $): Vai abrigar o 7º férmion

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia total do sistema somando as energias ocupadas por cada férmion:
Energia total = 2E1 + 2E2 + 2E3 + E4
Substituindo $ E_n $ na equação:
En

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
Energia total = 2 times 1 h^28 m L^2 + 2 times 4 h^28 m L^2 + 2 times 9 h^28 m L^2 + 16 h^28 m L^2
Energia total = 2 h^28 m L^2 + 8 h^28 m L^2 + 18 h^28 m L^2 + 16 h^28 m L^2

Passo 7

Somando todos os termos:
Energia total = 2 + 8 + 18 + 168 cdot h^2m L^2 = 44 h^28 m L^2

Resposta

A energia do estado fundamental dos sete férmions é $ \frac{44, h^{2}}{8, m L^{2}} $.

Exercícios relacionados