Qual é a energia do estado fundamental de sete férmions que não interagem, numa caixa unidimensional de comprimento L? (férmions tem spin semi-inteiros) R.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar a energia do estado fundamental de sete férmions não interagindo em uma caixa unidimensional de comprimento $ L $. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas em uma caixa quântica. Para resolver isso, vamos precisar entender como os férmions ocupam os níveis de energia disponíveis e aplicar a Princípio de Exclusão de Pauli, que diz que dois férmions não podem ocupar o mesmo estado quântico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular os níveis de energia para uma partícula em uma caixa unidimensional. A energia dos estados quânticos é dada pela fórmula:
Aqui:
- $ E_n $ é a energia do nível $ n $
- $ h $ é a constante de Planck
- $ m $ é a massa da partícula (no caso, dos férmions)
- $ L $ é o comprimento da caixa
- $ n $ é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …)
Passo 3
Como os férmions têm spin semi-inteiro, cada nível de energia pode acomodar dois férmions (um com spin para cima e outro com spin para baixo). Então, vamos distribuir os sete férmions nos menores níveis de energia disponíveis sem que dois férmions ocupem exatamente o mesmo estado quântico.
Passo 4
Vamos listar os níveis de energia e ver como os férmions se distribuem:
- Nível 1 ($ n=1 $): Pode acomodar 2 férmions
- Nível 2 ($ n=2 $): Pode acomodar 2 férmions
- Nível 3 ($ n=3 $): Pode acomodar 2 férmions
- Nível 4 ($ n=4 $): Vai abrigar o 7º férmion
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia total do sistema somando as energias ocupadas por cada férmion:
Substituindo $ E_n $ na equação:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
Passo 7
Somando todos os termos:
Resposta
A energia do estado fundamental dos sete férmions é $ \frac{44, h^{2}}{8, m L^{2}} $.