A energia de Fermi para a prata é de 5,51 \mathrm{eV}. Determine o nível de energia para o qual a probabilidade de ocupação é 0,1 a 300 K . Encontre também o nível de energia para o qual a probabilidade de ocupação é 0,9 . Ache a faixa de energia para a qual a probabilidade varia de 0,9 a 0,1 .

Passo 1

O enunciado dá a energia de Fermi da prata e pede três coisas claras:
  • Determinar o nível de energia para o qual a probabilidade de ocupação é 0,1 à temperatura 300\\ \mathrm{K}.
  • Determinar o nível de energia para o qual a probabilidade de ocupação é 0,9 à temperatura 300\\ \mathrm{K}.
  • Achar a faixa de energia para a qual a probabilidade varia de 0,9 a 0,1.
Informações fornecidas que usaremos:
E_F = 5{,}51\\ \mathrm{eV}
T = 300\\ \mathrm{K}
Nenhuma figura ou dado adicional foi dado, e assumiremos que o potencial químico \mu é muito bem aproximado por E_F a 300\\ \mathrm{K} (condição usual em metais).

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que relaciona energia e probabilidade de ocupação de elétrons numa estrutura de Fermi-Dirac. A distribuição de Fermi–Dirac dá a probabilidade de ocupação f(E) de um nível de energia E:
f(E)=\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{E-\mu}{k_B T}\right)+1}.
Explicando cada símbolo:
  • \,f(E)\, é a probabilidade de que um estado com energia E esteja ocupado (número entre 0 e 1).
  • \,\mu\, é o potencial químico; para metais a baixas temperaturas \mu\approx E_F.
  • \,k_B\, é a constante de Boltzmann.
  • \,T\, é a temperatura absoluta em kelvin.
Então, para nosso problema usaremos \mu=E_F=5{,}51\\ \mathrm{eV} e T=300\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Agora vamos isolar E em função de uma dada probabilidade f. Começamos de
f=\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{E-\mu}{k_B T}\right)+1}.
Rearranjando:
\frac{1}{f}-1=\exp\!\left(\dfrac{E-\mu}{k_B T}\right).
Tomando logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{1}{f}-1\right)=\frac{E-\mu}{k_B T}.
Logo a fórmula para E é
E=\mu + k_B T\;\ln\!\left(\frac{1}{f}-1\right).
Isto é tudo o que precisamos para obter E dado f.

Passo 4

Vamos calcular k_B T numa unidade conveniente (eV), porque E_F está em eV. A constante de Boltzmann em eV/K é aproximadamente
k_B = 8{,}617333262\times 10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}.
Portanto
k_B T = 8{,}617333262\times 10^{-5}\times 300 \approx 0{,}0258519998\\ \mathrm{eV}.
Para trabalhar com boa precisão usarei k_B T \approx 0{,}025852\\ \mathrm{eV}.

Passo 5

Calculemos agora os termos logarítmicos para as probabilidades pedidas.
Para f=0{,}1:
\frac{1}{f}-1=\frac{1}{0{,}1}-1=10-1=9,
\ln\!\left(\frac{1}{0{,}1}-1\right)=\ln(9)=2{,}197224577\ldots
Então o deslocamento em energia em relação a \mu é
\Delta E_{0{,}1}=k_B T\cdot \ln(9)\approx 0{,}0258519998\times 2{,}197224577\approx 0{,}0567977\\ \mathrm{eV}.
Para f=0{,}9:
\frac{1}{f}-1=\frac{1}{0{,}9}-1=\frac{10}{9}-1=\frac{1}{9},
\ln\!\left(\frac{1}{0{,}9}-1\right)=\ln\!\left(\tfrac{1}{9}\right)=-\ln(9)=-2{,}197224577\ldots
Então
\Delta E_{0{,}9}=k_B T\cdot \ln\!\left(\tfrac{1}{9}\right)\approx -0{,}0567977\\ \mathrm{eV}.

Passo 6

Agora somamos esses deslocamentos a \mu=E_F.
Para f=0{,}1:
E_{f=0{,}1}=E_F+\Delta E_{0{,}1}=5{,}51 + 0{,}0567977 \approx 5{,}5667977\\ \mathrm{eV}.
Arredondando a três casas decimais: E_{f=0{,}1}\approx 5{,}567\\ \mathrm{eV}.
Para f=0{,}9:
E_{f=0{,}9}=E_F+\Delta E_{0{,}9}=5{,}51 - 0{,}0567977 \approx 5{,}4532023\\ \mathrm{eV}.
Arredondando a três casas decimais: E_{f=0{,}9}\approx 5{,}453\\ \mathrm{eV}.

Passo 7

A faixa de energia para a qual a probabilidade varia de 0{,}9 a 0{,}1 é simplesmente o intervalo entre estes dois valores:
E_{f=0{,}9}\\ \text{até}\\ E_{f=0{,}1} \approx 5{,}453\\ \mathrm{eV}\\ \text{até}\\\ 5{,}567\\ \mathrm{eV}.éé
A largura da faixa é
\Delta E = E_{f=0{,}1}-E_{f=0{,}9}\approx 5{,}5667977-5{,}4532023 \approx 0{,}1135954\\ \mathrm{eV},
ou cerca de 0{,}114\\ \mathrm{eV}.

Resposta

E_{f=0{,}1}\approx 5{,}567\\ \mathrm{eV}
E_{f=0{,}9}\approx 5{,}453\\ \mathrm{eV}
Faixa: 5{,}453\\ \mathrm{eV} até 5{,}567\\ \mathrm{eV} (largura \approx 0{,}114\\ \mathrm{eV})

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