A energia de Fermi para a prata é de
. Determine o nível de energia para o qual a probabilidade de ocupação é 0,1 a 300 K . Encontre também o nível de energia para o qual a probabilidade de ocupação é 0,9 . Ache a faixa de energia para a qual a probabilidade varia de 0,9 a 0,1 .
Passo 1
O enunciado dá a energia de Fermi da prata e pede três coisas claras:
- Determinar o nível de energia para o qual a probabilidade de ocupação é
à temperatura . - Determinar o nível de energia para o qual a probabilidade de ocupação é
à temperatura . - Achar a faixa de energia para a qual a probabilidade varia de
a .
Informações fornecidas que usaremos:
Nenhuma figura ou dado adicional foi dado, e assumiremos que o potencial químico
é muito bem aproximado por
a
(condição usual em metais).
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que relaciona energia e probabilidade de ocupação de elétrons numa estrutura de Fermi-Dirac. A distribuição de Fermi–Dirac dá a probabilidade de ocupação
de um nível de energia
:
Explicando cada símbolo:
-
é a probabilidade de que um estado com energia esteja ocupado (número entre 0 e 1). -
é o potencial químico; para metais a baixas temperaturas . -
é a constante de Boltzmann. -
é a temperatura absoluta em kelvin.
Então, para nosso problema usaremos
e
.
Passo 3
Agora vamos isolar
em função de uma dada probabilidade
. Começamos de
Rearranjando:
Tomando logaritmo natural:
Logo a fórmula para
é
Isto é tudo o que precisamos para obter
dado
.
Passo 4
Vamos calcular
numa unidade conveniente (eV), porque
está em eV. A constante de Boltzmann em eV/K é aproximadamente
Portanto
Para trabalhar com boa precisão usarei
.
Passo 5
Calculemos agora os termos logarítmicos para as probabilidades pedidas.
Para
:
Então o deslocamento em energia em relação a
é
Para
:
Então
Passo 6
Agora somamos esses deslocamentos a
.
Para
:
Arredondando a três casas decimais:
Para
:
Arredondando a três casas decimais:
Passo 7
A faixa de energia para a qual a probabilidade varia de
a
é simplesmente o intervalo entre estes dois valores:
A largura da faixa é
ou cerca de
.
Resposta
Faixa: