Calcule a energia cinética de Fermi e a velocidade do elétron livre mais energético do sódio. Dado:
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular a energia cinética de Fermi e a velocidade do elétron livre mais energético do sódio, dado que a densidade eletrônica é
.\n
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
Nenhuma outra informação foi fornecida explicitamente, por isso usaremos constantes físicas conhecidas (massa do elétron e constante reduzida de Planck) e as fórmulas padrão para um gás livre de elétrons em 3D (Fermi energético e velocidade de Fermi).
Passo 2
Primeiro passo prático: converter a densidade para unidades SI (
), porque as constantes que usaremos estão em SI. Lembre que
, portanto a densidade em
é:
Passo 3
Agora a fórmula da energia de Fermi para um gás de elétrons livre tridimensional: a energia cinética máxima a
(energia de Fermi) é dada por
onde:
-
é a constante de Planck reduzida (unidade: ), -
é a massa do elétron (unidade: ), -
é a densidade de elétrons (unidade: ).\n
Esta fórmula vem da relação entre densidade de estados e ocupação até o nível de Fermi em um gás livre — na prática, decorre de preencher todos os estados quânticos até um momento máximo, e usar .
Passo 4
Vamos listar e usar os valores numéricos das constantes (em SI), com as casas decimais mostradas:
Calculemos o fator
:
Agora elevamos à potência
:
Passo 5
Calculemos
e então
. Primeiro
Multiplicando pela parte que depende de
:
Passo 6
Converter
de joules para elétron-volts (unidade comum em física do estado sólido). A carga elementar é
Então
Interpretação rápida: isso significa que, a
, os elétrons livres no sódio ocupam estados até cerca de
de energia cinética.
Passo 7
Agora a velocidade do elétron mais energético (velocidade de Fermi). Há duas fórmulas equivalentes; usarei
Explicando: para uma partícula clássica não-relativística, energia cinética é
; isolando
com
dá a velocidade correspondente ao nível de Fermi.\n
Usando e
:
Usando
Tomando raiz quadrada:
Como checagem alternativa (opcional): a expressão direta
dá o mesmo resultado ao usar os valores já calculados para
.