Calcule a energia cinética de Fermi e a velocidade do elétron livre mais energético do sódio. Dado: \mathrm{N} / \mathrm{L}^{3}=2,55 \times 10^{22} \mathrm{~cm}^{-3}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a energia cinética de Fermi e a velocidade do elétron livre mais energético do sódio, dado que a densidade eletrônica é \dfrac{N}{L^{3}} = 2,55\times10^{22}\\ \mathrm{cm}^{-3}.\n
Informações dadas que vamos usar:
\frac{N}{L^{3}} = 2,55\times10^{22}\\ \mathrm{cm}^{-3}.
Nenhuma outra informação foi fornecida explicitamente, por isso usaremos constantes físicas conhecidas (massa do elétron e constante reduzida de Planck) e as fórmulas padrão para um gás livre de elétrons em 3D (Fermi energético e velocidade de Fermi).

Passo 2

Primeiro passo prático: converter a densidade para unidades SI ( \mathrm{m}^{-3}), porque as constantes que usaremos estão em SI. Lembre que 1\\ \mathrm{cm}^{3}=10^{-6}\\ \mathrm{m}^{3}, portanto a densidade em \mathrm{m}^{-3} é:
n = \frac{N}{L^{3}} = 2,55\times10^{22}\\ \mathrm{cm}^{-3} = 2,55\times10^{22}\times10^{6}\\ \mathrm{m}^{-3} = 2,55\times10^{28}\\ \mathrm{m}^{-3}.

Passo 3

Agora a fórmula da energia de Fermi para um gás de elétrons livre tridimensional: a energia cinética máxima a T=0 (energia de Fermi) é dada por
E_{F} = \frac{\hbar^{2}}{2m}\,\bigl(3\pi^{2}n\bigr)^{2/3},
onde:
  • \hbar é a constante de Planck reduzida (unidade: \mathrm{J\,s}),
  • m é a massa do elétron (unidade: \mathrm{kg}),
  • n é a densidade de elétrons (unidade: \mathrm{m}^{-3}).\n
    Esta fórmula vem da relação entre densidade de estados e ocupação até o nível de Fermi em um gás livre — na prática, decorre de preencher todos os estados quânticos até um momento máximo p_{F}, e usar E = p^{2}/(2m).

Passo 4

Vamos listar e usar os valores numéricos das constantes (em SI), com as casas decimais mostradas:
\hbar = 1,054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s},
m = 9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
Calculemos o fator (3\pi^{2}n):
3\pi^{2} = 3\times\pi^{2} \approx 29,6088132,
3\pi^{2}n = 29,6088132\times 2,55\times10^{28} \approx 7,5504488\times10^{29}.
Agora elevamos à potência 2/3:
\bigl(3\pi^{2}n\bigr)^{2/3} \approx 8,2955\times10^{19}.

Passo 5

Calculemos \dfrac{\hbar^{2}}{2m} e então E_{F}. Primeiro
\hbar^{2} = (1,054571817\times10^{-34})^{2} \approx 1,112121\times10^{-68}\\ \mathrm{J^{2}s^{2}},
\frac{\hbar^{2}}{2m} = \frac{1,112121\times10^{-68}}{2\times9,10938356\times10^{-31}} \approx 6,1065\times10^{-39}\\ \mathrm{J\,m^{2}}.
Multiplicando pela parte que depende de n:
E_{F} = 6,1065\times10^{-39}\times 8,2955\times10^{19} \approx 5,064\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Converter E_{F} de joules para elétron-volts (unidade comum em física do estado sólido). A carga elementar é
e = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C} = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}.
Então
E_{F}(\mathrm{eV}) = \frac{5,064\times10^{-19}\\ \mathrm{J}}{1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}} \approx 3,16\\ \mathrm{eV}.
Interpretação rápida: isso significa que, a T=0, os elétrons livres no sódio ocupam estados até cerca de 3,16\\ \mathrm{eV} de energia cinética.

Passo 7

Agora a velocidade do elétron mais energético (velocidade de Fermi). Há duas fórmulas equivalentes; usarei
v_{F} = \sqrt{\frac{2E_{F}}{m}}.
Explicando: para uma partícula clássica não-relativística, energia cinética é E = \tfrac{1}{2}mv^{2}; isolando v com E=E_{F} dá a velocidade correspondente ao nível de Fermi.\n
Usando E_{F} = 5,064\times10^{-19}\\ \mathrm{J} e m=9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}:
\frac{2E_{F}}{m} = \frac{2\times5,064\times10^{-19}}{9,10938356\times10^{-31}} \approx 1,1117\times10^{12}\\ \mathrm{m^{2}s^{-2}}.
Tomando raiz quadrada:
v_{F} \approx \sqrt{1,1117\times10^{12}}\\ \mathrm{m\,s^{-1}} \approx 1,05\times10^{6}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Como checagem alternativa (opcional): a expressão direta
v_{F} = \frac{\hbar}{m}\bigl(3\pi^{2}n\bigr)^{1/3}
dá o mesmo resultado ao usar os valores já calculados para (3\pi^{2}n).

Resposta

E_{F} \approx 5,06\times10^{-19}\\ \mathrm{J} = 3,16\\ \mathrm{eV}\n
v_{F} \approx 1,05\times10^{6}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}

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