Considere as expressões para a força de atração( \mathrm{Fa}=+\mathrm{Ae}^{2} / \mathrm{r}^{2} ) e a força de repulsão
( \mathrm{Fr}=-\mathrm{nBe} \mathrm{e}^{(\mathrm{n}+1)} ) entre dois íons, em que \mathrm{A}, \mathrm{B} e n são constantes. À partir destas expressões, encontre a expressão para a energia de ligação e para a distância crítica.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a expressão para a energia de ligação (energia potencial no ponto de equilíbrio, geralmente tomada em referência U(\infty)=0) e a expressão para a distância crítica (distância de equilíbrio, onde as forças se cancelam).
As informações fornecidas no enunciado são as expressões das forças entre dois íons:
F_a(r)=+\frac{A e^{2}}{r^{2}}
F_r(r)=-\frac{nB}{r^{\,n+1}}
(em que A, B e n são constantes e e é a carga elementar). Vou trabalhar a partir dessas expressões para obter a energia potencial e a distância de equilíbrio.

Passo 2

Entendendo a relação força ↔ energia potencial (aquele pulo teórico antes da conta): a força total F(r) e a energia potencial U(r) estão ligadas por
F(r)=-\frac{dU}{dr}.
Isto significa que, se você conhece F(r), pode obter U(r) integrando com sinal trocado:
U(r)=-\int F(r)\,dr + C,
onde C é constante de integração que escolhemos normalmente impondo U(\infty)=0 (energia de referência no infinito). Vou aplicar isso ao caso em que a força total é a soma das duas forças dadas.

Passo 3

Escrevendo a força total somando as contribuições attractiva e repulsiva (usando as fórmulas dadas):
F(r)=F_a(r)+F_r(r)=\frac{A e^{2}}{r^{2}}-\frac{nB}{r^{\,n+1}}.
Agora calculamos U(r) via U(r)=-\int F(r)\,dr. Vamos integrar termo a termo, mostrando os passos das integrais:
  • Integral do primeiro termo:
\int \frac{A e^{2}}{r^{2}}\,dr = A e^{2}\int r^{-2}\,dr = A e^{2}\left(-\frac{1}{r}\right) = -\frac{A e^{2}}{r}.
  • Integral do segundo termo:
\int \left(-\frac{nB}{r^{\,n+1}}\right)\,dr = -nB\int r^{-(n+1)}\,dr = -nB\left(-\frac{1}{n}r^{-n}\right)=+B r^{-n}=\frac{B}{r^{n}}.
Somando as duas integrais obtemos \int F(r)\,dr = -\dfrac{A e^{2}}{r}+\dfrac{B}{r^{n}}. Aplicando o sinal negativo para obter U(r):
U(r)=-\int F(r)\,dr = -\left(-\frac{A e^{2}}{r}+\frac{B}{r^{n}}\right)=\frac{A e^{2}}{r}-\frac{B}{r^{n}}+C.
Impondo a condição de referência U(\infty)=0, vemos que os termos \dfrac{A e^{2}}{r} e \dfrac{B}{r^{n}} vão à zero quando r\to\infty, logo C=0. Portanto a energia potencial fica
\boxed{U(r)=\frac{A e^{2}}{r}-\frac{B}{r^{n}}.}
(Observação didática: dependendo da convenção de sinais que o livro usa para forças atraente/repulsiva, você pode ver a forma U(r)=-\dfrac{A e^{2}}{r}+\dfrac{B}{r^{n}}. Aqui segui rigorosamente as expressões de F_a e F_r dadas no enunciado e a relação F=-dU/dr.)

Passo 4

Distância crítica (ou de equilíbrio) r_0: é o ponto onde a força total é zero (as forças de atração e repulsão se equilibram):
F(r_0)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{A e^{2}}{r_0^{2}}-\frac{nB}{r_0^{\,n+1}}=0.
Resolvendo essa equação para r_0:
multiplicamos ambos os lados por r_0^{\,n+1}:
A e^{2}\,r_0^{\,n-1}=nB.
Isolando r_0:
r_0^{\,n-1}=\frac{nB}{A e^{2}}
\boxed{r_0=\left(\frac{nB}{A e^{2}}\right)^{\!1/(n-1)}.}

Passo 5

Energia de ligação: entendemos aqui como o valor da energia potencial no ponto de equilíbrio U(r_0) (normalmente negativo para poços de potencial, ou então tomamos o sinal conforme a expressão encontrada). Usamos a expressão de U(r) e a relação encontrada entre A e^{2}, B e r_0 para simplificar. Primeiro, escrevemos U(r_0) diretamente:
U(r_0)=\frac{A e^{2}}{r_0}-\frac{B}{r_0^{n}}.
Agora usamos da relação obtida em r_0: da equação do equilíbrio temos
A e^{2}/r_0=\frac{nB}{r_0^{n}}.
Substituindo na expressão de U(r_0):
U(r_0)=\frac{nB}{r_0^{n}}-\frac{B}{r_0^{n}}=\frac{(n-1)B}{r_0^{n}}.
Se preferirmos apresentar a energia de ligação em função de \,A,B,n (eliminando r_0), usamos 1/r_0^{n}=\left(\dfrac{A e^{2}}{nB}\right)^{\!n/(n-1)} ou mais diretamente substituímos \dfrac{A e^{2}}{r_0}=(A e^{2})^{\!n/(n-1)}(nB)^{-1/(n-1)}. Uma forma compacta é:
U(r_0)=-\frac{n-1}{n}\,\frac{A e^{2}}{r_0}
se adotarmos a convenção de energia de ligação como o poço (note que isto difere por sinal da forma direta obtida acima dependendo da convenção inicial dos sinais das forças). Seguiremos a forma consistente com as expressões anteriores (e com a substituição direta), obtendo
\boxed{U(r_0)=\frac{(n-1)B}{r_0^{n}}.}
Podemos também reescrever em termos de A,B,n sem r_0:
\boxed{U(r_0)=\frac{n-1}{n}\,(A e^{2})^{\!n/(n-1)}(nB)^{-1/(n-1)}.}
(Escolha a forma que preferir: em termos de r_0 fica mais simples; em termos só de A,B,n fica explícito sem r_0.)

Resposta

r_0=\left(\frac{nB}{A e^{2}}\right)^{\!1/(n-1)}
U(r_0)=\frac{(n-1)B}{r_0^{n}} = \frac{n-1}{n}\,(A e^{2})^{\!n/(n-1)}(nB)^{-1/(n-1)}

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