Considere as expressões para a força de atração(
) e a força de repulsão
(
) entre dois íons, em que
e n são constantes. À partir destas expressões, encontre a expressão para a energia de ligação e para a distância crítica.
(
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a expressão para a energia de ligação (energia potencial no ponto de equilíbrio, geralmente tomada em referência
) e a expressão para a distância crítica (distância de equilíbrio, onde as forças se cancelam).
As informações fornecidas no enunciado são as expressões das forças entre dois íons:
As informações fornecidas no enunciado são as expressões das forças entre dois íons:
(em que
,
e
são constantes e
é a carga elementar). Vou trabalhar a partir dessas expressões para obter a energia potencial e a distância de equilíbrio.
Passo 2
Entendendo a relação força ↔ energia potencial (aquele pulo teórico antes da conta): a força total
e a energia potencial
estão ligadas por
Isto significa que, se você conhece
, pode obter
integrando com sinal trocado:
onde
é constante de integração que escolhemos normalmente impondo
(energia de referência no infinito). Vou aplicar isso ao caso em que a força total é a soma das duas forças dadas.
Passo 3
Escrevendo a força total somando as contribuições attractiva e repulsiva (usando as fórmulas dadas):
Agora calculamos
via
. Vamos integrar termo a termo, mostrando os passos das integrais:
- Integral do primeiro termo:
- Integral do segundo termo:
Somando as duas integrais obtemos
. Aplicando o sinal negativo para obter
:
Impondo a condição de referência
, vemos que os termos
e
vão à zero quando
, logo
. Portanto a energia potencial fica
(Observação didática: dependendo da convenção de sinais que o livro usa para forças atraente/repulsiva, você pode ver a forma
. Aqui segui rigorosamente as expressões de
e
dadas no enunciado e a relação
.)
Passo 4
Distância crítica (ou de equilíbrio)
: é o ponto onde a força total é zero (as forças de atração e repulsão se equilibram):
Resolvendo essa equação para
:
multiplicamos ambos os lados por :
multiplicamos ambos os lados por
Isolando
:
Passo 5
Energia de ligação: entendemos aqui como o valor da energia potencial no ponto de equilíbrio
(normalmente negativo para poços de potencial, ou então tomamos o sinal conforme a expressão encontrada). Usamos a expressão de
e a relação encontrada entre
,
e
para simplificar. Primeiro, escrevemos
diretamente:
Agora usamos da relação obtida em
: da equação do equilíbrio temos
Substituindo na expressão de
:
Se preferirmos apresentar a energia de ligação em função de
(eliminando
), usamos
ou mais diretamente substituímos
. Uma forma compacta é:
se adotarmos a convenção de energia de ligação como o poço (note que isto difere por sinal da forma direta obtida acima dependendo da convenção inicial dos sinais das forças). Seguiremos a forma consistente com as expressões anteriores (e com a substituição direta), obtendo
Podemos também reescrever em termos de
sem
:
(Escolha a forma que preferir: em termos de
fica mais simples; em termos só de
fica explícito sem
.)