Qual a energia interna de 1,5 mols de um gás perfeito na temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C} ? Considere \mathrm{R}=8,31 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} . \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (peguei todos os dados diretamente do enunciado):
  • Quantidade de substância: n=1,5\\ \mathrm{mol}.
  • Temperatura: 20^\circ\mathrm{C}.
  • Constante dos gases: R=8,31\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\mathrm{K}^{-1}.
O que é pedido: calcular a energia interna do gás perfeito nessas condições.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Para um gás perfeito ideal, a energia interna total depende apenas da temperatura e da natureza do gás (número de graus de liberdade). A relação geral é
U = n C_V T,
onde:
  • U é a energia interna (em joules, \mathrm{J});
  • n é a quantidade de mols (em \mathrm{mol});
  • C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante (em \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\mathrm{K}^{-1});
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin, \mathrm{K}).
  • Para gases ideais, existe uma expressão conveniente ligando C_V ao número de graus de liberdade f da molécula:
C_V = \frac{f}{2}R.
Substituindo em U obtemos a fórmula muito usada:
U = \frac{f}{2}\,n R T.
Explicando os símbolos:
  • f é o número de graus de liberdade (por exemplo, para gás monoatômico f=3; diatômico em condições usuais f=5; etc.).
  • R é a constante dos gases (fornecida).
  • As demais variáveis já descritas.

Passo 3

Escolha do f (justificação didática e prática):
O enunciado só diz “gás perfeito” sem especificar se é monoatômico, diatômico, etc. Isso cria ambiguidade: a fórmula exige f. Em exercícios básicos costuma-se assumir gás monoatômico quando nada é dito (por exemplo, um gás nobre), porque é o caso mais simples e comum em provas. Vou adotar aqui f=3 (monoatômico). Se fosse outro tipo, a expressão geral \dfrac{f}{2}nRT serve e basta trocar f.

Passo 4

Converter temperatura para kelvin (passo imprescindível):
A relação é
T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
Portanto,
T = 20^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Aplicar a fórmula para gás monoatômico ( f=3):
A fórmula específica fica
U = \frac{3}{2}\,n R T.
Vamos calcular em etapas simples (sem pular contas):
  1. Calcular o fator multiplicativo \dfrac{3}{2}\,n:
\frac{3}{2}\,n = \frac{3}{2}\times 1{,}5 = 2{,}25.
  1. Calcular R\cdot T:
R\cdot T = 8{,}31\times 293{,}15.
Fazendo a multiplicação em duas partes:
8{,}31\times 293 = 8{,}31\times(300-7)=8{,}31\times300-8{,}31\times7=2493-58{,}17=2434{,}83,
8{,}31\times0{,}15=1{,}2465,
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R\cdot T = 2434{,}83+1{,}2465 = 2436{,}0765\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  1. Agora U = 2{,}25\times (R\cdot T):
U = 2{,}25\times 2436{,}0765 = 5481{,}172125\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Arredondamento e interpretação final:
Com os dados fornecidos (n com duas casas significativas), faz sentido apresentar o resultado com três algarismos significativos. Assim,
U \approx 5{,}48\times10^{3}\\ \mathrm{J},
ou equivalentemente U \approx 5{,}48\\ \mathrm{kJ}.
Observação útil (se ficar para a prova): se o gás fosse diatômico ( f=5), repetir o cálculo com \dfrac{5}{2}nRT daria aproximadamente 9{,}14\times10^{3}\\ \mathrm{J}. Então atenção ao tipo de gás quando for exigido.
Força aí — você já tem o passo a passo completo para aplicar em qualquer variação desse tipo de exercício!

Resposta

5{,}48\times10^{3}\\ \mathrm{J}

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