Uma amostra de 2,00 \mathrm{~mol} de He se expande isotermicamente, a 0{ }^{\circ} \mathrm{C}, de 5,0 \mathrm{dm}^{3} até 20,0 \mathrm{dm}^{3}, livremente (contra pressão externa nula). Em cada processo, calcule q, w e \Delta \mathrm{U}.

Passo 1

O enunciado dá uma expansão isotérmica de hélio e pede q, w e \Delta U. Dados fornecidos:
  • n=2{,}00\\ \mathrm{mol} (peguei do enunciado).
  • Temperatura T=0{,}0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K} (converti a partir do enunciado).
  • Volume inicial V_1=5{,}0\\ \mathrm{dm}^3 = 5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3 (conversão feita).
  • Volume final V_2=20{,}0\\ \mathrm{dm}^3 = 20{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3 (conversão feita).
  • Processo: expansão livre, ou seja, contra pressão externa nula P_{\text{ext}}=0 (peguei do enunciado).
O que é pedido: calcular
  • q = calor trocado pelo sistema no processo,
  • w = trabalho (usar a convenção de termodinâmica onde w é o trabalho feito sobre o sistema, e portanto w=-\int P_{\text{ext}}\,dV),
  • \Delta U = variação de energia interna do gás.

Passo 2

Entender o trabalho em uma expansão com pressão externa constante. Quando a pressão externa é constante vale:
w=-\int_{V_1}^{V_2} P_{\text{ext}}\,dV = -P_{\text{ext}}(V_2-V_1).
Aqui, como a expansão é livre contra vácuo, P_{\text{ext}}=0. Portanto
w=-0\cdot(V_2-V_1)=0.
Isso já nos dá o valor do trabalho: w=0\\ \mathrm{J}. Explicando no bom e velho português: se não há pressão empurrando de fora, o gás não realiza trabalho contra o ambiente (pela convenção adotada, o trabalho sobre o sistema é zero).

Passo 3

Agora a energia interna de um gás ideal. Para um gás ideal a energia interna depende somente da temperatura. A variação de energia interna é dada por:
\Delta U = n C_V \Delta T,
onde n é o número de mols, C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante e \Delta T é a variação de temperatura. No enunciado o processo é isotérmico, logo \Delta T=0. Independentemente do valor de C_V (para o hélio monoatômico C_V=\tfrac{3}{2}R, mas não precisamos do valor numérico aqui), temos
\Delta U = n C_V \cdot 0 = 0.
Portanto \Delta U=0\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Aplicar a Primeira Lei da Termodinâmica. Na convenção usada:
\Delta U = q + w,
onde q é o calor recebido pelo sistema e w o trabalho feito sobre o sistema. Já sabemos \Delta U=0 (do passo anterior) e w=0 (do passo 2). Substituindo:
0 = q + 0 \quad\Rightarrow\quad q=0.
Ou seja, o calor trocado também é nulo: q=0\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Interpretação física curta e encorajamento. Resultado intuitivo: na expansão livre de um gás ideal ocorrendo isotermicamente, não há trabalho contra a vizinhança porque a pressão externa é zero, e como a energia interna de um gás ideal depende só da temperatura (que não mudou), não houve variação de energia interna nem fluxo de calor líquido. Mesmo que o processo seja irreversível (expansão para o vácuo), as contas acima valem para um gás ideal. Calma — parece muita teoria, mas o resultado é simples e bonito: tudo zero.

Resposta

q=0\\ \mathrm{J}
w=0\\ \mathrm{J}
\Delta U=0\\ \mathrm{J}

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