A energia magnetoestática em circuitos concentrados é função da sua corrente I e independe da forma como esta corrente é alcançada partindo de zero em meios lineares.
Passo 1
O enunciado afirma que a energia magnetoestática em circuitos concentrados é função da sua corrente
e independe da forma como essa corrente foi alcançada partindo de zero, desde que o meio seja linear. A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e explicar por quê. Informações dadas explicitamente: a energia é função da corrente
, e o meio é linear (ou seja, sem histerese e com relação linear entre
e
).
Passo 2
Primeiro, vamos definir as grandezas e a ideia física usada aqui, bem devagarinho:
-
é a corrente no enrolamento (ou vetor de correntes em um circuito com várias bobinas). -
é o fluxo magnético que atravessa uma espira/núcleo. -
(chamada ligação de fluxo ou fluxo-encadeado) é , onde é o número de espiras; para circuitos concentrados costuma-se trabalhar com diretamente. - A indutância (auto ou mútua) relaciona fluxo-encadeado e corrente. Em um caso simples de uma única bobina linear temos
, onde é constante (isso é o que “linear” garante: proporcionalidade constante entre e ).
Essas definições são essenciais porque a energia magnética é obtida a partir do trabalho necessário para construir o campo magnético a partir de corrente zero.
Passo 3
Agora a fórmula geral do trabalho/energia. Faça assim no raciocínio físico: a potência instantânea fornecida a uma bobina é
Mas a tensão numa bobina é a derivada temporal da ligação de fluxo,
Substituindo,
Integrando no tempo desde circuito desligado (
) até a corrente final
, obtemos a energia armazenada:
Essa fórmula é muito importante: ela diz que a energia armazenada é a integral do fluxo-encadeado em função da corrente, integrada de
até
.
Passo 4
Aplicando isso ao caso linear (o enunciado pediu meios lineares). Em um meio linear e para uma bobina isolada temos
com
constante. Substituindo na integral:
Ou seja: a energia depende apenas do valor final
e de
, não de como eu varie a corrente no tempo (desde que eu não tenha perdas não-conservativas). Isso mostra claramente a independência do caminho (forma como se alcançou
) para este caso simples.
Passo 5
E se houver várias bobinas acopladas? Em notação vetorial (caso de um circuito concentrado com várias correntes) definimos o vetor de ligações de fluxo
e o vetor de correntes
com a relação linear
onde
é a matriz de indutâncias (auto e mútua). Em meios lineares
é constante e simétrica (
). A energia diferencial é
Substituindo
e integrando desde
até
(matematicamente isto é íntegro porque
é constante e simétrica) obtemos
Portanto, para circuitos lineares acoplados, a energia é uma função somente do vetor de correntes finais
. A razão técnica:
é um diferencial exato (a condição de integrabilidade
é satisfeita porque ambas derivadas são
).
Passo 6
Agora um comentário importante sobre as hipóteses: o que exatamente garante essa independência do caminho?
- Meio linear (proporcionalidade
e indutância constante) garante que é uma função única e bem definida da corrente . - Se o material tiver histerese (por exemplo, núcleo ferromagnético com laço de histerese), então
depende do histórico da corrente e a integral deixa de ser única: o valor de em um dado depende de como eu cheguei a esse . Assim, em presença de histerese a energia (ou melhor: a energia armazenada versus a energia perdida) passa a depender do caminho. - Mesmo em meios não-lineares mas sem histerese (por exemplo, material com saturação mas sem laço), existe uma relação unívoca
e a energia ainda pode ser obtida por , ou seja, depende só do final — porém a expressão não é mais com constante.
Passo 7
Resumo didático e prático para a prova (cola mental):
- Regra geral: energia magnética armazenada é
. - Em meios lineares:
. Logo depende só de . - Em múltiplas bobinas lineares:
(função só das correntes finais). - Atenção especial: se houver histerese (meio não-conservativo), a afirmação de independência de caminho falha.
Você pode usar isso na prova: se o enunciado garantir “meio linear” — responda que é verdadeiro; se houver núcleo ferromagnético com menção à histerese ou não-linearidade, desconfiar e justificar.
Resposta
Verdadeiro.