A energia magnetoestática em circuitos concentrados é função da sua corrente I e independe da forma como esta corrente é alcançada partindo de zero em meios lineares.

Passo 1

O enunciado afirma que a energia magnetoestática em circuitos concentrados é função da sua corrente \;I\; e independe da forma como essa corrente foi alcançada partindo de zero, desde que o meio seja linear. A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e explicar por quê. Informações dadas explicitamente: a energia é função da corrente \;I\;, e o meio é linear (ou seja, sem histerese e com relação linear entre \;B\; e \;H\;).

Passo 2

Primeiro, vamos definir as grandezas e a ideia física usada aqui, bem devagarinho:
  • \;I\; é a corrente no enrolamento (ou vetor de correntes em um circuito com várias bobinas).
  • \;\Phi\; é o fluxo magnético que atravessa uma espira/núcleo.
  • \;\lambda\; (chamada ligação de fluxo ou fluxo-encadeado) é \;\lambda = N\Phi\;, onde \;N\; é o número de espiras; para circuitos concentrados costuma-se trabalhar com \;\lambda\; diretamente.
  • A indutância (auto ou mútua) relaciona fluxo-encadeado e corrente. Em um caso simples de uma única bobina linear temos \;\lambda = L I\;, onde \;L\; é constante (isso é o que “linear” garante: proporcionalidade constante entre \;\lambda\; e \;I\;).
Essas definições são essenciais porque a energia magnética é obtida a partir do trabalho necessário para construir o campo magnético a partir de corrente zero.

Passo 3

Agora a fórmula geral do trabalho/energia. Faça assim no raciocínio físico: a potência instantânea fornecida a uma bobina é
p(t) = v(t)\,i(t).
Mas a tensão numa bobina é a derivada temporal da ligação de fluxo,
v(t)=\frac{d\lambda}{dt}.
Substituindo,
p(t)=i(t)\,\frac{d\lambda}{dt}=\frac{d}{dt}\Bigl(\int_{0}^{i(t)} \lambda(i)\,di\Bigr).
Integrando no tempo desde circuito desligado ( I=0) até a corrente final \;I\;, obtemos a energia armazenada:
W=\int_{0}^{I} \lambda(i)\,di.
Essa fórmula é muito importante: ela diz que a energia armazenada é a integral do fluxo-encadeado em função da corrente, integrada de 0 até I.

Passo 4

Aplicando isso ao caso linear (o enunciado pediu meios lineares). Em um meio linear e para uma bobina isolada temos \;\lambda(i)=L\,i\; com \;L\; constante. Substituindo na integral:
W=\int_{0}^{I} L\,i\,di = L\left[\frac{i^{2}}{2}\right]_{0}^{I}=\frac{1}{2}L I^{2}.
Ou seja: a energia depende apenas do valor final \;I\; e de L, não de como eu varie a corrente no tempo (desde que eu não tenha perdas não-conservativas). Isso mostra claramente a independência do caminho (forma como se alcançou \;I\;) para este caso simples.

Passo 5

E se houver várias bobinas acopladas? Em notação vetorial (caso de um circuito concentrado com várias correntes) definimos o vetor de ligações de fluxo \;\boldsymbol{\lambda}\; e o vetor de correntes \;\mathbf{I}\; com a relação linear
\boldsymbol{\lambda} = \mathbf{L}\,\mathbf{I},
onde \;\mathbf{L}\; é a matriz de indutâncias (auto e mútua). Em meios lineares \;\mathbf{L}\; é constante e simétrica ( L_{ij}=L_{ji}). A energia diferencial é
dW=\boldsymbol{\lambda}^{T} d\mathbf{I}.
Substituindo \;\boldsymbol{\lambda}=\mathbf{L}\mathbf{I}\; e integrando desde \mathbf{0} até \mathbf{I} (matematicamente isto é íntegro porque \mathbf{L} é constante e simétrica) obtemos
W=\tfrac{1}{2}\mathbf{I}^{T}\mathbf{L}\,\mathbf{I}.
Portanto, para circuitos lineares acoplados, a energia é uma função somente do vetor de correntes finais \;\mathbf{I}\;. A razão técnica: \;dW\; é um diferencial exato (a condição de integrabilidade \partial \lambda_{k}/\partial I_{m}=\partial \lambda_{m}/\partial I_{k} é satisfeita porque ambas derivadas são L_{km}).

Passo 6

Agora um comentário importante sobre as hipóteses: o que exatamente garante essa independência do caminho?
  • Meio linear (proporcionalidade \;B\!-\!H\; e indutância constante) garante que \;\lambda\; é uma função única e bem definida da corrente \;I\;.
  • Se o material tiver histerese (por exemplo, núcleo ferromagnético com laço de histerese), então \;\lambda\; depende do histórico da corrente e a integral \int_{0}^{I}\lambda(i)\,di deixa de ser única: o valor de \lambda em um dado I depende de como eu cheguei a esse I. Assim, em presença de histerese a energia (ou melhor: a energia armazenada versus a energia perdida) passa a depender do caminho.
  • Mesmo em meios não-lineares mas sem histerese (por exemplo, material com saturação mas sem laço), existe uma relação unívoca \lambda(I) e a energia ainda pode ser obtida por \;W=\int_{0}^{I}\lambda(i)\,di\;, ou seja, depende só do I final — porém a expressão não é mais \tfrac{1}{2}LI^{2} com L constante.

Passo 7

Resumo didático e prático para a prova (cola mental):
  • Regra geral: energia magnética armazenada é \;W=\int_{0}^{I}\lambda(i)\,di.
  • Em meios lineares: \;\lambda=LI\Rightarrow W=\tfrac{1}{2}LI^{2}. Logo depende só de \;I\;.
  • Em múltiplas bobinas lineares: \;W=\tfrac{1}{2}\mathbf{I}^{T}\mathbf{L}\mathbf{I} (função só das correntes finais).
  • Atenção especial: se houver histerese (meio não-conservativo), a afirmação de independência de caminho falha.
Você pode usar isso na prova: se o enunciado garantir “meio linear” — responda que é verdadeiro; se houver núcleo ferromagnético com menção à histerese ou não-linearidade, desconfiar e justificar.

Resposta

Verdadeiro.

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