A auto-indutância é definida como a derivada do fluxo magnético em um circuito fechado em relação à corrente deste circuito.
Passo 1
O enunciado afirma que “a auto-indutância é definida como a derivada do fluxo magnético em um circuito fechado em relação à corrente deste circuito.”
O que vou fazer: explicar passo a passo o que isso significa, justificar por que faz sentido, deduzir a relação entre a força eletromotriz induzida e a variação de corrente, mostrar como se obtém a energia armazenada num indutor e dar uma fórmula prática para um exemplo comum (solenoide).
Informações que o enunciado dá (e que usarei):\n
O que vou fazer: explicar passo a passo o que isso significa, justificar por que faz sentido, deduzir a relação entre a força eletromotriz induzida e a variação de corrente, mostrar como se obtém a energia armazenada num indutor e dar uma fórmula prática para um exemplo comum (solenoide).
Informações que o enunciado dá (e que usarei):\n
- A relação entre fluxo magnético e corrente é a peça central: a auto-indutância está ligada a como o fluxo
depende da corrente . - É preciso usar a definição de fluxo magnético e a lei de Faraday para ligar fluxo a fem (força eletromotriz) induzida.
Passo 2
O que é fluxo magnético e como escrevê-lo matematicamente.
Definição: o fluxo magnético através de uma superfície é a integral do campo magnético
sobre essa superfície:
Definição: o fluxo magnético através de uma superfície
Expliquei cada símbolo:
é o fluxo magnético (medido em weber,
);
é o campo magnético (em tesla,
);
é um elemento de área com direção normal à superfície.
Observação prática: para uma espira única, é o fluxo através da área limitada pela espira. Para um enrolamento com
espiras idênticas, costuma-se usar o “fluxo ligado” ou “fluxo ligado total”
.
Observação prática: para uma espira única,
Passo 3
Definição formal de auto-indutância (
).
A definição que o enunciado dá pode ser escrita como:
A definição que o enunciado dá pode ser escrita como:
Aqui
é o fluxo por espira (ou, se você trabalhar com fluxo ligado, então
e muitas vezes se define
).
Interpretação física: mede quanto o fluxo magnético muda quando eu mudo a corrente do circuito. Se aumentar a corrente, o campo magnético aumenta e, portanto, o fluxo aumenta;
é a “proporcionalidade” entre essas mudanças.
Atenção importante: esta definição pressupõe que seja uma função de
. Em meios lineares (por exemplo, vácuo ou materiais lineares),
é proporcional a
e
é constante. Em materiais magnéticos não-lineares (com saturação),
pode não ser linear em
e
pode depender de
.
Interpretação física:
Atenção importante: esta definição pressupõe que
Passo 4
Ligando a definição de
com a lei de Faraday (fórmula para a tensão induzida).
A lei de Faraday diz que a força eletromotriz induzida em um circuito é o negativo da taxa de variação temporal do fluxo:
A lei de Faraday diz que a força eletromotriz induzida em um circuito é o negativo da taxa de variação temporal do fluxo:
Agora uso a definição de
. Se
depende de
, pela regra da cadeia:
desde que
seja constante. Substituindo em Faraday:
Explicação passo a passo: primeiro escrevemos a derivada temporal de
como derivada de
em relação a
vezes derivada de
em relação ao tempo; isso é a regra da cadeia do cálculo. Isso mostra de forma direta que uma corrente variável gera uma tensão induzida proporcional à taxa de variação da corrente — esta é a fórmula clássica do indutor.
Caso dependa do tempo (ou de
), a fórmula completa pela regra da cadeia é:
Caso
logo
Na maior parte dos problemas de circuito elementar assumimos
constante, então a forma simples
vale.
Passo 5
Unidades e interpretação dimensional de
.
Fluxo tem unidade weber (
). Corrente
tem unidade ampere (
). Então
Fluxo
A unidade usual do SI para
é o henry (
), onde
. Outra forma útil de ver: como
e
, temos
, que é equivalente a
.
Passo 6
Energia armazenada num indutor — dedução detalhada.
Idéia física: para aumentar a corrente num circuito, é preciso realizar trabalho para vencer a fem induzida que se opõe à variação. Esse trabalho fica armazenado no campo magnético. Vou calcular esse trabalho incremental e integrar.
Num instante em que a corrente vale , uma pequena variação
exige um trabalho diferencial
igual à potência instantânea fornecida menos a energia devolvida — mas mais direto: a tensão instantânea na fonte que está aumentando
é
(a fonte precisa contrariar a fem). Então o trabalho diferencial fornecido é:
Idéia física: para aumentar a corrente num circuito, é preciso realizar trabalho para vencer a fem induzida que se opõe à variação. Esse trabalho fica armazenado no campo magnético. Vou calcular esse trabalho incremental e integrar.
Num instante em que a corrente vale
Usando
(assumindo
constante):
Agora integro de
até
:
Conclusão: a energia armazenada no campo magnético de um indutor quando a corrente é
é
Isso é útil na prova: sempre memorize que a energia do indutor é
, análoga à energia potencial elástica
.
Passo 7
Exemplo prático: indutância de um solenoide longo (fórmula e derivação curta).
Considere um solenoide com voltas, comprimento
, área da seção transversal
, e permeabilidade magnética do meio
(onde
). Para um solenoide longo o campo magnético interno é aproximadamente uniforme e dado por:
Considere um solenoide com
O fluxo por espira é
. Então o fluxo ligado total (soma sobre todas as
espiras) é
Pela definição
(uso o fluxo ligado), obtemos
Interpretação:
cresce com o quadrado do número de espiras e com a área; diminui com o comprimento do enrolamento. Substitua
se houver núcleo magnético para incluir a permeabilidade relativa.
Passo 8
Exemplos rápidos e dicas de prova.
- Se numa questão aparecer “calcule a fem induzida quando a corrente varia”, use diretamente
. - Se pedirem energia armazenada após uma corrente
estabelecida, use . - Se der geometria do enrolamento (solenoide, bobina toroidal, espira circular), procure a expressão padrão de
; para solenoide longo use . Para espira circular isolada existem fórmulas mais complicadas que normalmente não caem em prova elementar. - Lembre-se de unidades: se no resultado aparecer henry, está coerente.
Passo 9
Observações finais e erros comuns a evitar (para não se enrolar na prova).
- Não confunda fluxo por espira
com fluxo ligado . Se trabalhar com , defina . - Verifique se
é constante no problema; se houver materiais com permeabilidade variável ou se ou a geometria mudarem no tempo, aparece o termo na fem. - Não esqueça o sinal negativo de Faraday: a fem se opõe à variação do fluxo (lei de Lenz). Isso é o que dá o sinal em
.
Resposta
Para um solenoide longo: