A auto-indutância é definida como a derivada do fluxo magnético em um circuito fechado em relação à corrente deste circuito.

Passo 1

O enunciado afirma que “a auto-indutância é definida como a derivada do fluxo magnético em um circuito fechado em relação à corrente deste circuito.”
O que vou fazer: explicar passo a passo o que isso significa, justificar por que faz sentido, deduzir a relação entre a força eletromotriz induzida e a variação de corrente, mostrar como se obtém a energia armazenada num indutor e dar uma fórmula prática para um exemplo comum (solenoide).
Informações que o enunciado dá (e que usarei):\n
  • A relação entre fluxo magnético e corrente é a peça central: a auto-indutância está ligada a como o fluxo \Phi depende da corrente I.
  • É preciso usar a definição de fluxo magnético e a lei de Faraday para ligar fluxo a fem (força eletromotriz) induzida.

Passo 2

O que é fluxo magnético e como escrevê-lo matematicamente.
Definição: o fluxo magnético através de uma superfície S é a integral do campo magnético \mathbf{B} sobre essa superfície:
\Phi=\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.
Expliquei cada símbolo: \Phi é o fluxo magnético (medido em weber, \mathrm{Wb}); \mathbf{B} é o campo magnético (em tesla, \mathrm{T}); d\mathbf{A} é um elemento de área com direção normal à superfície.
Observação prática: para uma espira única, \Phi é o fluxo através da área limitada pela espira. Para um enrolamento com N espiras idênticas, costuma-se usar o “fluxo ligado” ou “fluxo ligado total” \Lambda = N\Phi.

Passo 3

Definição formal de auto-indutância ( L).
A definição que o enunciado dá pode ser escrita como:
L=\frac{d\Phi}{dI}.
Aqui \Phi é o fluxo por espira (ou, se você trabalhar com fluxo ligado, então \Lambda=N\Phi e muitas vezes se define L=d\Lambda/dI).
Interpretação física: L mede quanto o fluxo magnético muda quando eu mudo a corrente do circuito. Se aumentar a corrente, o campo magnético aumenta e, portanto, o fluxo aumenta; L é a “proporcionalidade” entre essas mudanças.
Atenção importante: esta definição pressupõe que \Phi seja uma função de I. Em meios lineares (por exemplo, vácuo ou materiais lineares), \Phi é proporcional a I e L é constante. Em materiais magnéticos não-lineares (com saturação), \Phi pode não ser linear em I e L pode depender de I.

Passo 4

Ligando a definição de L com a lei de Faraday (fórmula para a tensão induzida).
A lei de Faraday diz que a força eletromotriz induzida em um circuito é o negativo da taxa de variação temporal do fluxo:
\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}.
Agora uso a definição de L. Se \Phi depende de I, pela regra da cadeia:
\frac{d\Phi}{dt}=\frac{d\Phi}{dI}\frac{dI}{dt}=L\,\frac{dI}{dt},
desde que L seja constante. Substituindo em Faraday:
\mathcal{E} = -L\,\frac{dI}{dt}.
Explicação passo a passo: primeiro escrevemos a derivada temporal de \Phi como derivada de \Phi em relação a I vezes derivada de I em relação ao tempo; isso é a regra da cadeia do cálculo. Isso mostra de forma direta que uma corrente variável gera uma tensão induzida proporcional à taxa de variação da corrente — esta é a fórmula clássica do indutor.
Caso L dependa do tempo (ou de I), a fórmula completa pela regra da cadeia é:
\frac{d\Phi}{dt} = L\frac{dI}{dt} + I\frac{dL}{dt},
logo
\mathcal{E} = -\left(L\frac{dI}{dt} + I\frac{dL}{dt}\right).
Na maior parte dos problemas de circuito elementar assumimos L constante, então a forma simples \mathcal{E}=-L\,dI/dt vale.

Passo 5

Unidades e interpretação dimensional de L.
Fluxo \Phi tem unidade weber ( \mathrm{Wb}). Corrente I tem unidade ampere ( \mathrm{A}). Então
[L]=\frac{[\Phi]}{[I]}=\frac{\mathrm{Wb}}{\mathrm{A}}.
A unidade usual do SI para L é o henry ( \mathrm{H}), onde 1\\ \mathrm{H}=1\\ \mathrm{Wb}/\mathrm{A}. Outra forma útil de ver: como \mathcal{E}=-L\,dI/dt e [\mathcal{E}]=\mathrm{V}, temos [L]=\mathrm{V}\cdot\mathrm{s}/\mathrm{A}, que é equivalente a \mathrm{Wb}/\mathrm{A}.

Passo 6

Energia armazenada num indutor — dedução detalhada.
Idéia física: para aumentar a corrente num circuito, é preciso realizar trabalho para vencer a fem induzida que se opõe à variação. Esse trabalho fica armazenado no campo magnético. Vou calcular esse trabalho incremental e integrar.
Num instante em que a corrente vale i, uma pequena variação di exige um trabalho diferencial dW igual à potência instantânea fornecida menos a energia devolvida — mas mais direto: a tensão instantânea na fonte que está aumentando I é -\mathcal{E} (a fonte precisa contrariar a fem). Então o trabalho diferencial fornecido é:
dW = v\,i\,dt = (-\mathcal{E})\,i\,dt.
Usando \mathcal{E}=-L\,\dfrac{dI}{dt} (assumindo L constante):
dW = \big(L\,\frac{dI}{dt}\big) i\,dt = L\,i\,dI.
Agora integro de 0 até I:
W=\int_{0}^{I} L\,i\,di = L\left[\frac{i^{2}}{2}\right]_{0}^{I} = \frac{1}{2}LI^{2}.
Conclusão: a energia armazenada no campo magnético de um indutor quando a corrente é I é
U=\frac{1}{2}LI^{2}.
Isso é útil na prova: sempre memorize que a energia do indutor é \tfrac{1}{2}LI^{2}, análoga à energia potencial elástica \tfrac{1}{2}kx^{2}.

Passo 7

Exemplo prático: indutância de um solenoide longo (fórmula e derivação curta).
Considere um solenoide com N voltas, comprimento l, área da seção transversal A, e permeabilidade magnética do meio \mu (onde \mu=\mu_{0}\mu_{r}). Para um solenoide longo o campo magnético interno é aproximadamente uniforme e dado por:
B=\mu\frac{N}{l}I.
O fluxo por espira é \Phi=B A. Então o fluxo ligado total (soma sobre todas as N espiras) é
\Lambda = N\Phi = N(B A) = N\left(\mu\frac{N}{l}I\right)A = \mu\frac{N^{2}A}{l}I.
Pela definição L=d\Lambda/dI (uso o fluxo ligado), obtemos
L=\mu\frac{N^{2}A}{l}.
Interpretação: L cresce com o quadrado do número de espiras e com a área; diminui com o comprimento do enrolamento. Substitua \mu=\mu_{0}\mu_{r} se houver núcleo magnético para incluir a permeabilidade relativa.

Passo 8

Exemplos rápidos e dicas de prova.
  • Se numa questão aparecer “calcule a fem induzida quando a corrente varia”, use diretamente \mathcal{E}=-L\,dI/dt.
  • Se pedirem energia armazenada após uma corrente I estabelecida, use U=\tfrac{1}{2}LI^{2}.
  • Se der geometria do enrolamento (solenoide, bobina toroidal, espira circular), procure a expressão padrão de L; para solenoide longo use \displaystyle L=\mu\frac{N^{2}A}{l}. Para espira circular isolada existem fórmulas mais complicadas que normalmente não caem em prova elementar.
  • Lembre-se de unidades: se no resultado aparecer henry, está coerente.

Passo 9

Observações finais e erros comuns a evitar (para não se enrolar na prova).
  • Não confunda fluxo por espira \Phi com fluxo ligado \Lambda=N\Phi. Se trabalhar com \Lambda, defina L=d\Lambda/dI.
  • Verifique se L é constante no problema; se houver materiais com permeabilidade variável ou se N ou a geometria mudarem no tempo, aparece o termo I\,dL/dt na fem.
  • Não esqueça o sinal negativo de Faraday: a fem se opõe à variação do fluxo (lei de Lenz). Isso é o que dá o sinal em \mathcal{E}=-L\,dI/dt.

Resposta

\displaystyle L=\frac{d\Phi}{dI}
\displaystyle \mathcal{E}=-L\,\frac{dI}{dt} (para L constante)
\displaystyle U=\frac{1}{2}LI^{2} (energia armazenada no indutor)
Para um solenoide longo: \displaystyle L=\mu\frac{N^{2}A}{l}.

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