Um oscilador perdeu 30% da amplitude após 25 segundos de movimento. Sabendo que o período do movimento amortecido é 5 segundos, calcule:
a) Qual o valor do coeficiente de amortecimento gamma (gamma)?
b) Qual o valor da frequência natural omega 0 (ômega zero)?
c) Qual precisaria ser o valor de gamma para que amortecimento seja crítico?

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador amortecido cujo período do movimento amortecido é Td = 5 s e cuja amplitude decai a 70% do valor inicial em t = 25 s. Vamos usar a forma da equação de amortecimento
x'' + 2gamma,x' + omega0^2,x = 0,
em que o envelope da amplitude obedece
A(t) = A0,e^-gamma t,
e em que a frequência amortecida omegad satisfaz
omegad = raizomega0^2 - gamma^2 e Td = 2piomegad

Passo 2

Da lei de decaimento do envelope temos
A(25)A0 = 0,7 = e^-gamma cdot 25
Tirando logaritmo em ambos os lados,
-gamma cdot 25 = ln(0,7) Longrightarrow gamma = -125,lnl(0,7r)

Passo 3

Calculando numericamente,
gamma = -125,ln(0,7) approx 0,356674925 approx 0,01427 s^-1

Passo 4

Da relação Td = 2pi/omegad obtemos
omegad = 2pi5 approx 1,25664 rad/s
Como omegad^2 = omega0^2 - gamma^2, segue
omega0 = raizomegad^2 + gamma^2 approx raiz(1,25664)^2 + (0,01427)^2 approx 1,2567 rad/s

Passo 5

O amortecimento é crítico quando gamma = omega0. Logo o valor de gamma para amortecimento crítico é
gammacrítico = omega0 approx 1,2567 s^-1 í

Resposta

a) gamma approx 0,01427 s^-1
b) omega0 approx 1,2567 rad/s
c) gammacrítico approx 1,2567 s^-1í

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