3 (Energia potencial e conservação da energia - 2,5 pontos) Um bloco de 100 g é solto sobre uma mola vertical indeformada que possui uma constante de mola k=60 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O bloco passa a ficar preso à mola comprimindo-a 40 cm até parar por um instante. Enquanto a mola estiver sendo comprimida, qual é o trabalho realizado sobre o bloco?
a) Qual é a velocidade do bloco imediatamente antes de ele acertar a mola? (Suponha que o atrito seja desprezivel).
b) De que altura o bloco foi solto acima do nivel onde a mola ficou comprimida com o bloco parado.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
Dados fornecidos:
  • Massa do bloco: m=0,100\\ \mathrm{kg}.
  • Constante da mola: k=60\\ \mathrm{N/m}.
  • A mola é comprimida até x=0,40\\ \mathrm{m} quando o bloco pára por um instante.
  • Desprezamos atrito.
  • A aceleração da gravidade vale g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Perguntas:
  1. Enquanto a mola estiver sendo comprimida, qual é o trabalho realizado sobre o bloco? (Interpretamos isto como o trabalho realizado pela força elástica da mola sobre o bloco durante a compressão de 0,40\\ \mathrm{m}.)
  2. (a) Qual é a velocidade do bloco imediatamente antes de ele acertar a mola?
  3. (b) De que altura o bloco foi solto acima do nível onde a mola ficou comprimida com o bloco parado?

Passo 2

Conceitos importantes que vamos usar (explicadinhos, passo a passo).
  1. Trabalho da força elástica (mola): a força da mola é dada pela Lei de Hooke \,F_s = -k x, onde x é a deformação (positiva para compressão) e o sinal negativo indica que a força é restauradora (oposta ao deslocamento). O trabalho da força elástica ao comprimir a mola de x=0 até x=X é
W_{\text{mola}}=\int_{0}^{X} (-k x)\,dx = -\frac{1}{2}kX^{2}.
Isso significa que a mola realiza trabalho negativo sobre o bloco (ela retira energia cinética do bloco enquanto o comprime), e a energia fica armazenada como energia potencial elástica \,U_s=\tfrac{1}{2}kX^{2}.
  1. Teorema da energia potencial / conservação de energia mecânica (sem atrito): a energia mecânica total (energia cinética + energia potencial gravitacional + energia potencial elástica) é conservada. Durante a compressão da mola, podemos relacionar a energia cinética imediatamente antes da compressão, a variação de energia gravitacional ao descer uma distância x dentro da mola, e a energia elástica acumulada na mola no extremo da compressão.
  2. Energia cinética: \,K=\tfrac{1}{2}mv^{2}.
    Energia potencial gravitacional (referência arbitrária): \,U_g = m g y.
    Energia potencial elástica: \,U_s = \tfrac{1}{2}k x^{2}.
Vou usar essas fórmulas na resolução com todas as variáveis explicadas.

Passo 3

Calcular o trabalho realizado pela mola durante a compressão de x=0,40\\ \mathrm{m}.
Aplicando a fórmula do trabalho da força elástica para X=0,40\\ \mathrm{m}:
W_{\text{mola}}=-\frac{1}{2}kX^{2}.
Substituindo k=60\\ \mathrm{N/m} e X=0,40\\ \mathrm{m}:
W_{\text{mola}}=-\frac{1}{2}\cdot 60\cdot (0,40)^{2}.
Agora calculamos passo a passo:
(0,40)^{2}=0,16,
\frac{1}{2}\cdot 60\cdot 0,16 = 30\cdot 0,16 = 4,8.
Portanto
W_{\text{mola}} = -4,8\\ \mathrm{J}.
Interpretação: a mola realizou trabalho de -4,8\\ \mathrm{J} sobre o bloco (tirou 4,8\\ \mathrm{J} da energia do bloco e armazenou como energia elástica).

Passo 4

Encontrar a velocidade do bloco imediatamente antes de ele acertar a mola (parte a).
Estratégia didática: considere o instante imediatamente antes do contato com a mola como ponto A, e o instante de máxima compressão x=0,40\\ \mathrm{m} como ponto B. Durante a compressão (A→B) usamos conservação de energia entre A e B:
Energia em A: K_A=\tfrac{1}{2}m v_{A}^{2} (aqui v_{A} é a velocidade imediatamente antes do contato).
Energia em B: toda a energia cinética em A mais a perda de energia gravitacional m g x foi convertida em energia elástica \tfrac{1}{2}k x^{2} no ponto B, pois no ponto B o bloco está instantaneamente parado ( K_B=0).
Então a equação de conservação entre A e B é
\frac{1}{2}m v_{A}^{2} + m g x = \frac{1}{2}k x^{2}.
Isolamos v_{A}:
\frac{1}{2}m v_{A}^{2} = \frac{1}{2}k x^{2} - m g x,
v_{A}^{2} = \frac{2}{m}\left(\frac{1}{2}k x^{2} - m g x\right) = \frac{k x^{2}}{m} - 2 g x.
Agora substituímos os números: m=0,100\\ \mathrm{kg}, k=60\\ \mathrm{N/m}, x=0,40\\ \mathrm{m}, g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Primeiro calcule \tfrac{1}{2}k x^{2} (já feita no Passo 3): =4,8\\ \mathrm{J}.
Calcule m g x:
m g x = 0,100\cdot 9,8\cdot 0,40 = 0,392\\ \mathrm{J}.
Logo a energia cinética em A é
\frac{1}{2}m v_{A}^{2} = 4,8 - 0,392 = 4,408\\ \mathrm{J}.
Agora isolamos v_{A}:
v_{A}^{2} = \frac{2\cdot 4,408}{0,100} = \frac{8,816}{0,100} = 88,16,
v_{A} = \sqrt{88,16} \approx 9,39\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: mesmo sem saber de que altura foi solto, a velocidade imediatamente antes de tocar a mola é determinada pela energia necessária para comprimir a mola até 0,40\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Determinar a altura da qual o bloco foi solto acima do nível onde a mola ficou comprimida com o bloco parado (parte b).
Explicação: Seja H a altura total que o bloco caiu desde o ponto de soltura até o ponto de máxima compressão (nível onde a mola está comprimida e o bloco parado). Como não há perdas, a energia potencial gravitacional inicial m g H foi totalmente convertida na energia elástica final \tfrac{1}{2}k x^{2}. Então
m g H = \frac{1}{2}k x^{2}.
Isolando H:
H = \frac{\tfrac{1}{2}k x^{2}}{m g}.
Substituindo números: numerador já conhecido =4,8\\ \mathrm{J}. Denominador m g = 0,100\cdot 9,8 = 0,98\\ \mathrm{N} (ou J/m).
H = \frac{4,8}{0,98} \approx 4,897959\\ \mathrm{m} \approx 4,90\\ \mathrm{m}.
Interpretação prática: o bloco foi solto de uma altura de aproximadamente 4,90\\ \mathrm{m} acima do ponto em que a mola ficou comprimida e o bloco parou. Note que essa altura inclui tanto a queda livre antes de tocar a mola quanto os 0,40\\ \mathrm{m} de compressão; é a queda total até o ponto mais baixo.

Resposta

Trabalho realizado pela mola: W_{\text{mola}}=-4,8\\ \mathrm{J}\n(a) v=9,39\\ \mathrm{m/s}\n(b) h=4,90\\ \mathrm{m}

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