Uma casca esférica metálica de raio
aterrada contém um dipolo elétrico pontual constante exatamente em seu centro, em
. O potencial elétrico gerado por esse dipolo é dado por
onde supôs-se que o sentido positivo do eixo
está paralelo e no mesmo sentido que o vetor momento de dipolo
. Exceto exatamente em
, que é um dos contornos da região, a equação de Laplace é válida no interior (e no exterior) da casca esférica.
(a) Desenhe um esquema do problema, incluindo a orientação do sistema de eixos apropriado. ( 0,5 ponto)
(b) Obtenha o potencial gerado no interior e no exterior da casca esférica em termos de uma expansão em polinômios de Legendre, tomando cuidado ao satisfazer as condições de contorno do problema. Considere que
. (1,0 ponto)
(c) Mostre que o campo elétrico na região dentro da casca esférica vale, em coordenadas esféricas, ( 0,5 ponto)
(d) Determine a densidade superficial de carga induzida na casca esférica, se houver. ( 0,5 ponto)
(a) Desenhe um esquema do problema, incluindo a orientação do sistema de eixos apropriado. ( 0,5 ponto)
(b) Obtenha o potencial gerado no interior e no exterior da casca esférica em termos de uma expansão em polinômios de Legendre, tomando cuidado ao satisfazer as condições de contorno do problema. Considere que
(c) Mostre que o campo elétrico na região dentro da casca esférica vale, em coordenadas esféricas, ( 0,5 ponto)
Passo 1
O enunciado pede o potencial e o campo elétrico gerados por um dipolo pontual colocado exatamente no centro de uma casca esférica metálica de raio
que está aterrada (potencial da casca igual a zero). As partes pedidas são:
- (a) Fazer um esquema do problema e indicar a orientação dos eixos;
- (b) Obter o potencial no interior (
) e no exterior ( ) da casca por expansão em polinômios de Legendre, impondo as condições de contorno (especialmente e ); - (c) Mostrar que o campo elétrico no interior vale a expressão fornecida;
- (d) Determinar a densidade superficial de carga induzida na casca.
Informações dadas e condições relevantes:
- Potencial do dipolo pontual no espaço (para
) é
- A casca é metálica e está aterrada, portanto
. - Exceto em
(onde está a origem do dipolo), em todo o interior e exterior a equação de Laplace vale. - No infinito
. - Simetria axial em torno da direção do dipolo (eixo
).
Passo 2
Escolha do método e justificativa (passo didático sobre o que vamos usar)
- Por simetria azimutal em torno do eixo do dipolo (não há dependência em
) e pela forma angular do potencial do dipolo, a solução do problema pode ser escrita como expansão em polinômios de Legendre (cada termo tem dependência radial do tipo ou ). - Em regiões sem cargas (exceto na origem) a equação a obedecer é a equação de Laplace. A solução geral separada em
e com simetria axial é, para cada região,
- Por causa da forma angular do dipolo (
), apenas o termo aparece efetivamente (os demais coeficientes serão nulos por simetria / pela condição angular imposta pela fonte). Assim reduzimos o problema a combinar termos com . - Condições de regularidade: no interior (próximo a
mas excluindo ) não podem aparecer termos com que sejam mais singulares que a singularidade já dada pelo dipolo; porém o potencial do dipolo já contém um termo proporcional a (que é no termo ). Podemos acrescentar, no interior, um termo regular em ( ) que representa a perturbação harmônica necessária para satisfazer . - No exterior, exigimos decaimento em infinito (
), então só podem existir termos do tipo . A condição junto com a condição no infinito determinará os coeficientes no exterior.
Passo 3
Montagem das soluções gerais reduzidas por simetria (aplicando a expansão somente em
)
- Para
temos . Escrevo as soluções ansatz para cada região:
Interior (
): soma do potencial do dipolo (já conhecido) mais um termo harmônico regular:
onde
é constante a determinar. Justificativa: o primeiro termo é o potencial do dipolo; o segundo é a solução regular de Laplace com
(comportamento
) que permite ajustar a condição de contorno na superfície
.
Exterior (
): geralmente é da forma
. Escrevo
com
constante. A condição
é satisfeita por esse termo e impede termos crescentes. Nota: o potencial do dipolo por si só também tem a mesma dependência em
, então o coeficiente
representará a soma do efeito do dipolo e de eventuais cargas induzidas que se manifestam externamente.
Passo 4
Imposição das condições de contorno em
e uso do teorema da unicidade
- A casca é metálica e aterrada, logo a superfície tem potencial zero:
- Substituindo
nas expressões:
Para o interior:
Isto implica (dividindo por
, válido para todos os
exceto os polos em que a equação ainda vale por continuidade)
Para o exterior:
- Interpretação física com teorema da unicidade: como
fora da casca satisfaz Laplace com em e no infinito, a solução única é . Ou seja, o dipolo interno não produz campo fora da casca quando ela está aterrada (blindagem completa).
Passo 5
Escrever as expressões finais dos potenciais a partir dos coeficientes encontrados (resultado do item (b))
- Substituindo
em obtemos
- Para o exterior, como
,
Passo 6
Cálculo do campo elétrico na região interna (passo didático de derivação)
- O campo é
. Para potenciais com dependência as componentes em coordenadas esféricas são:
com
. Aqui
.
- Calcule
:
- Portanto
- Em forma vetorial:
que é exatamente a expressão pedida no item (c).
Passo 7
Densidade superficial de carga induzida na casca (item (d))
- Para uma superfície condutora, a densidade superficial de carga
está relacionada ao salto da componente normal do campo elétrico:
Aqui
é a componente radial imediatamente fora da casca e
é a componente radial imediatamente dentro. Como
, tem-se
, logo
- Usando
calculado no passo anterior:
Portanto
- Observação rápida (checagem): integra-se
sobre a superfície esférica e obtém-se carga total induzida zero, pois . Isso está de acordo com o fato de o dipolo não portar carga total e a simetria.
Resposta
(a) Esquema: esfera metálica concêntrica de raio
com centro na origem; dipolo pontual
colocado em
apontando para
; sistema de coordenadas esféricas com eixo polar
alinhado com
.
(b) Potencial interior:
(b) Potencial interior:
Potencial exterior:
(c) Campo elétrico interno:
(d) Densidade superficial induzida na casca: