1. A energia potencial de um corpo restrito ao eixo x é dada por U(x)=A+B x^2-C x^3, onde A=1,00 J, B=5,00 J / m^2 e C=2,00 J / m^3. (a) Determine a força Fx associada a esta energia potencial na posição x=1,00 m. [ 0 , 5 ponto]; (b) Determine as posições de equilíbrio do corpo. [ 0 , 5 ponto]; (c) Quais destas posições de equilíbrio são estáveis? [0,5 ponto].

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial de um corpo ao longo do eixo x:
U(x)=A+B x^2-C x^3,
com A=1,00 J, B=5,00 J/m^2 e C=2,00 J/m^3. Pede-se:
(a) a força Fx em x=1,00 m;
(b) as posições de equilíbrio, onde Fx=0;
(c) identificar quais equilíbrios são estáveis.
Para isso vamos usar que
Fx=-dUdx
e o teste de estabilidade via segunda derivada de U(x).

Passo 2

Calcular a derivada de U(x):
dUdx =2B,x-3C,x^2
Logo a força é
Fx=-l(2B,x-3C,x^2r)
Em x=1,00 m isso fica
Fxl(1,00r) =-l(2cdot5,00cdot1,00-3cdot2,00cdot1,00^2r) =-(10,00-6,00)=-4,00 N

Passo 3

Determinar as posições de equilíbrio impondo Fx=0, isto é,
2B,x-3C,x^2=0 Longrightarrow x,(2B-3C,x)=0
Daí surgem duas soluções:
x1=0, x2=2B3C=2cdot5,003cdot2,00=106=53 m

Passo 4

Testar estabilidade com a segunda derivada:
d^2Udx^2 =2B-6C,x
Em x1=0:
d^2Udx^2|0 =2cdot5,00-6cdot2,00cdot0 =10,00>0,
portanto x1=0 é equilíbrio estável.
Em x2=5/3:
d^2Udx^2|5/3 =10,00-6cdot2,00cdot53 =10,00-20,00=-10,00<0,
logo x2=5/3 m é equilíbrio instável.

Resposta

(a) Fx(1,00,m)=-4,00 N
(b) As posições de equilíbrio são x=0 e x=5/3 m
(c) x=0 é estável; x=5/3 m é instável.

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