A energia potencial gravitacional dessas massas e dada por U(r)=-G m1 m2 / r, onde G é uma constante.
(a) Mostre os componentes da força que atua sobre m2 em funçăo de m1 săo
Fx=-G m1 m2 x(x^2+y^2)^3 / 2 e Fy=-G m1 m2 y(x^2+y^2)^3 / 2
(Sugestão: primeiro escreva r em termos de x e y.)
(b) Mostre que o módulo da força que atua sobre m2 E F=G m1 m2 / r^2.
© m1 atrai ou repele m2 ? Como voce sabe?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a energia potencial gravitacional entre duas massas, $ m_1 $ e $ m_2 $, que está dada por:
m1
Aqui, $ G $ é a constante gravitacional, e $ r $ é a distância entre as duas massas. O conteúdo que vamos usar envolve conceitos de energia potencial gravitacional e forças vetoriais. Para resolver as partes (a), (b) e ©, precisaremos entender como derivar as componentes da força a partir da energia potencial e como calcular o módulo da força.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a). A sugestão é escrever $ r $ em termos das coordenadas $ x $ e $ y $. Imaginando que as massas estão posicionadas no plano, a distância $ r $ entre elas é dada pela fórmula:
r
Onde $ x $ e $ y $ são as componentes das posições das massas nos respectivos eixos.

Passo 3

Sabemos que a força gravitacional é relacionada à energia potencial pela relação:
F = -nabla U
Isso significa que a força é o negativo do gradiente da energia potencial. O gradiente em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla U = ( partial Upartial x, partial Upartial y )
Então, vamos calcular cada componente da força.

Passo 4

Primeiro, calculamos a derivada parcial de $ U $ em relação a $ x $:
U
De maneira similar, a derivada parcial em relação a $ y $ é:
x

Passo 5

Agora, aplicamos a relação $ \mathbf{F} = -\nabla U $:
F = -nabla U
Fx = -partial Upartial x = G m1 m2 x(x^2 + y^2)^3/2
Porém, considerando a direção da força gravitacional, devemos incluir o sinal negativo:
Fy = -partial Upartial y = G m1 m2 y(x^2 + y^2)^3/2
Fx = -G m1 m2 x(x^2 + y^2)^3/2
Assim, mostramos as componentes da força conforme solicitado.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Queremos mostrar que o módulo da força é:
F = G m1 m2r^2
Sabemos que o módulo da força resultante em termos das componentes $ F_x $ e $ F_y $ é dado por:
Fx
Substituindo as expressões encontradas para $ F_x $ e $ F_y $:
Fy

Passo 7

Simplificando:
F = raizG^2 m1^2 m2^2 x^2(x^2 + y^2)^3 + G^2 m1^2 m2^2 y^2(x^2 + y^2)^3 = raizG^2 m1^2 m2^2 (x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^3
F = raizG^2 m1^2 m2^2(x^2 + y^2)^2 = G m1 m2(x^2 + y^2)
Como $ r = \sqrt{x^2 + y^2} $, então $ r^2 = x^2 + y^2 $. Substituindo:
r = raizx^2 + y^2
O que confirma o módulo da força gravitacional.

Passo 8

Por fim, na parte ©, precisamos determinar se $ m_1 $ atrai ou repele $ m_2 $. Observamos a expressão da energia potencial gravitacional:
m1
O sinal negativo indica que a energia potencial é negativa, o que significa que a força é atrativa. Além disso, na expressão das componentes da força, ambos os $ F_x $ e $ F_y $ têm sinal negativo, o que indica que a força está apontando na direção oposta às coordenadas $ x $ e $ y $, ou seja, puxando $ m_2 $ em direção a $ m_1 $.

Resposta

(a) As componentes da força que atua sobre $ m_2 $ são:
m2
(b) O módulo da força é:
Fx = -G m1 m2 x(x^2+y^2)^3 / 2 e Fy = -G m1 m2 y(x^2+y^2)^3 / 2
© $ m_{1} $ atrai $ m_{2} $, como demonstrado pelo sinal negativo na força, indicando uma força atrativa.

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