A energia potencial gravitacional dessas massas e dada por
, onde
é uma constante.
(a) Mostre os componentes da força que atua sobre
em funçăo de
săo
(Sugestão: primeiro escreva
em termos de
e
.)
(b) Mostre que o módulo da força que atua sobre
E
.
©
atrai ou repele
? Como voce sabe?
(a) Mostre os componentes da força que atua sobre
(b) Mostre que o módulo da força que atua sobre
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a energia potencial gravitacional entre duas massas, $ m_1 $ e $ m_2 $, que está dada por:
Aqui, $ G $ é a constante gravitacional, e $ r $ é a distância entre as duas massas. O conteúdo que vamos usar envolve conceitos de energia potencial gravitacional e forças vetoriais. Para resolver as partes (a), (b) e ©, precisaremos entender como derivar as componentes da força a partir da energia potencial e como calcular o módulo da força.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a). A sugestão é escrever $ r $ em termos das coordenadas $ x $ e $ y $. Imaginando que as massas estão posicionadas no plano, a distância $ r $ entre elas é dada pela fórmula:
Onde $ x $ e $ y $ são as componentes das posições das massas nos respectivos eixos.
Passo 3
Sabemos que a força gravitacional é relacionada à energia potencial pela relação:
Isso significa que a força é o negativo do gradiente da energia potencial. O gradiente em coordenadas cartesianas é dado por:
Então, vamos calcular cada componente da força.
Passo 4
Primeiro, calculamos a derivada parcial de $ U $ em relação a $ x $:
De maneira similar, a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 5
Agora, aplicamos a relação $ \mathbf{F} = -\nabla U $:
Porém, considerando a direção da força gravitacional, devemos incluir o sinal negativo:
Assim, mostramos as componentes da força conforme solicitado.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Queremos mostrar que o módulo da força é:
Sabemos que o módulo da força resultante em termos das componentes $ F_x $ e $ F_y $ é dado por:
Substituindo as expressões encontradas para $ F_x $ e $ F_y $:
Passo 7
Simplificando:
Como $ r = \sqrt{x^2 + y^2} $, então $ r^2 = x^2 + y^2 $. Substituindo:
O que confirma o módulo da força gravitacional.
Passo 8
Por fim, na parte ©, precisamos determinar se $ m_1 $ atrai ou repele $ m_2 $. Observamos a expressão da energia potencial gravitacional:
O sinal negativo indica que a energia potencial é negativa, o que significa que a força é atrativa. Além disso, na expressão das componentes da força, ambos os $ F_x $ e $ F_y $ têm sinal negativo, o que indica que a força está apontando na direção oposta às coordenadas $ x $ e $ y $, ou seja, puxando $ m_2 $ em direção a $ m_1 $.
Resposta
(a) As componentes da força que atua sobre $ m_2 $ são:
(b) O módulo da força é:
© $ m_{1} $ atrai $ m_{2} $, como demonstrado pelo sinal negativo na força, indicando uma força atrativa.