Um campo de forças é dado por F=(x-e^-x-y-z, y-e^-x-y-z, z-e^-x-y-z). Determine se ele é conservativo e, caso afirmativo encontre a função potencial V(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar um campo de forças definido por F = (x - e^-x-y-z, y - e^-x-y-z, z - e^-x-y-z). A tarefa é descobrir se esse campo é conservativo e, se for o caso, encontrar a função potencial V(x, y, z) associada a ele.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de campo conservativo e função potencial. Além disso, vamos utilizar o cálculo de derivadas parciais e integração para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo F é conservativo. Um campo de forças é conservativo se a sua rotacional (ou curl) for igual a zero em todo o espaço. A rotacional de F em coordenadas cartesianas é dada por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = partialpartial y(z - e^-x-y-z) - partialpartial z(y - e^-x-y-z) = e^-x-y-z - e^-x-y-z = 0
  1. Segunda componente:
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = partialpartial z(x - e^-x-y-z) - partialpartial x(z - e^-x-y-z) = e^-x-y-z - e^-x-y-z = 0
  1. Terceira componente:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = partialpartial x(y - e^-x-y-z) - partialpartial y(x - e^-x-y-z) = e^-x-y-z - e^-x-y-z = 0
Como todas as componentes da rotacional são zero, concluímos que nabla times F = 0, ou seja, o campo F é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que o campo é conservativo, podemos encontrar a função potencial V(x, y, z). A relação entre o campo F e a função potencial V é dada por:
F = -nabla V
Isso significa que cada componente de F é igual à derivada negativa de V em relação à respectiva variável:
Fx = -partial Vpartial x, Fy = -partial Vpartial y, Fz = -partial Vpartial z
Vamos integrar cada componente para encontrar V.

Passo 4

Primeiro, vamos integrar Fx em relação a x:
Fx = x - e^-x-y-z = -partial Vpartial x Rightarrow partial Vpartial x = -x + e^-x-y-z
Integrando em relação a x:
V(x, y, z) = integral (-x + e^-x-y-z) dx = -x^22 - e^-x-y-z + g(y, z)
Aqui, g(y, z) é uma função arbitrária que pode depender de y e z.

Passo 5

Agora, vamos usar a componente Fy para determinar g(y, z):
Fy = y - e^-x-y-z = -partial Vpartial y Rightarrow partial Vpartial y = -y + e^-x-y-z
Calculando partial Vpartial y a partir da expressão que encontramos para V:
partial Vpartial y = partialpartial y(-x^22 - e^-x-y-z + g(y, z)) = e^-x-y-z + partial gpartial y
Igualando as duas expressões:
e^-x-y-z + partial gpartial y = -y + e^-x-y-z Rightarrow partial gpartial y = -y
Integrando em relação a y:
g(y, z) = -y^22 + h(z)
Aqui, h(z) é uma função arbitrária que depende apenas de z.

Passo 6

Por fim, vamos usar a componente Fz para determinar h(z):
Fz = z - e^-x-y-z = -partial Vpartial z Rightarrow partial Vpartial z = -z + e^-x-y-z
Calculando partial Vpartial z a partir da expressão atual de V:
partial Vpartial z = partialpartial z(-x^22 - e^-x-y-z - y^22 + h(z)) = e^-x-y-z + dhdz
Igualando as duas expressões:
e^-x-y-z + dhdz = -z + e^-x-y-z Rightarrow dhdz = -z
Integrando em relação a z:
h(z) = -z^22 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A função potencial V(x, y, z) é dada por:
V(x, y, z) = -x^22 - y^22 - z^22 - e^-x-y-z + C
Onde C é uma constante arbitrária.

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