Um campo de forças é dado por
. Determine se ele é conservativo e, caso afirmativo encontre a função potencial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar um campo de forças definido por
. A tarefa é descobrir se esse campo é conservativo e, se for o caso, encontrar a função potencial
associada a ele.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de campo conservativo e função potencial. Além disso, vamos utilizar o cálculo de derivadas parciais e integração para encontrar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo
é conservativo. Um campo de forças é conservativo se a sua rotacional (ou curl) for igual a zero em todo o espaço. A rotacional de
em coordenadas cartesianas é dada por:
Vamos calcular cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Como todas as componentes da rotacional são zero, concluímos que
, ou seja, o campo
é conservativo.
Passo 3
Agora que sabemos que o campo é conservativo, podemos encontrar a função potencial
. A relação entre o campo
e a função potencial
é dada por:
Isso significa que cada componente de
é igual à derivada negativa de
em relação à respectiva variável:
Vamos integrar cada componente para encontrar
.
Passo 4
Primeiro, vamos integrar
em relação a
:
Integrando em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária que pode depender de
e
.
Passo 5
Agora, vamos usar a componente
para determinar
:
Calculando
a partir da expressão que encontramos para
:
Igualando as duas expressões:
Integrando em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária que depende apenas de
.
Passo 6
Por fim, vamos usar a componente
para determinar
:
Calculando
a partir da expressão atual de
:
Igualando as duas expressões:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A função potencial
é dada por:
Onde
é uma constante arbitrária.