A energia reticular de um composto iônico como o cloreto de sódio ( NaCl ) pode ser estimada a partir de parâmetros físicos e estruturais. Utilize os seguintes dados para calcular a energia reticular do \mathrm{NaCl} \mathrm{em} \mathrm{kJ} / \mathrm{mol} :
  • Constante de Madelung: \mathrm{M}=1,7476
  • Distância interiônica: \mathrm{r}_{0}=2,81 \times 10^{-10} \mathrm{~m}
  • Expoente de repulsão: \mathrm{n}=9
  • Número de Avogadro: \mathrm{N}=6,022 \times 10^{23} \mathrm{~mol}^{-1}
  • Carga do elétron: \mathrm{e}=1,602 \times 10-19
  • Permissividade elétrica do vácuo: \varepsilon_{0}=8,854 \times 10-12 \mathrm{C}^{2} \mathrm{~J}^{-1}
Com base nesses dados, calcule a energia reticular do NaCl utilizando a equação de Born-Landé e apresente o resultado em kJ/mol, com duas casas decimais.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a energia reticular do cloreto de sódio em \mathrm{kJ}/\mathrm{mol} usando a equação de Born–Landé, com os dados fornecidos.
Dados fornecidos (usarei exatamente os valores do enunciado, em unidades SI):
M=1,7476
r_0=2,81\times 10^{-10}\\ \mathrm{m}
n=9
N_A=6,022\times 10^{23}\\ \mathrm{mol}^{-1}
e=1,602\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}
\varepsilon_0=8,854\times 10^{-12}\\ \mathrm{C}^2\\ \mathrm{J}^{-1}\,\mathrm{m}^{-1}
Informação extra necessária para o NaCl (que decorre da fórmula química): as cargas dos íons são \mathrm{Na}^+ e \mathrm{Cl}^-, logo
z_+=1,\qquad z_-=1.
Não faço mais nada neste passo — só organizei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Apresento a fórmula de Born–Landé e explico cada termo de forma didática.
A equação de Born–Landé para a energia reticular (por mol) é:
U = -\,\frac{N_A\,M\,z_+z_-\,e^2}{4\pi\varepsilon_0\,r_0}\left(1-\frac{1}{n}\right).
O que significa cada símbolo:
  • U: energia reticular por mol (unidade: joule por mol, \mathrm{J}/\mathrm{mol}); resultado será convertido para \mathrm{kJ}/\mathrm{mol}.
  • N_A: número de Avogadro ( \mathrm{mol}^{-1}), converte energia por par iônico para por mol.
  • M: constante de Madelung (adimensional), representa a soma dos fatores geométricos da rede iônica.
  • z_+ e z_-: cargas adimensionais dos íons (número de cargas elementares).
  • e: carga elementar (coulomb, \mathrm{C}).
  • \varepsilon_0: permissividade do vácuo (unidades compatíveis com coulomb e joule/metr).
  • r_0: distância interiônica (metros).
  • n: expoente de repulsão (adimensional); o fator \left(1-\dfrac{1}{n}\right) corrige a energia total devido à repulsão de Born.
Sutileza de sinal: o sinal negativo indica que a formação da rede iônica libera energia (ligações iônicas são estabilizadoras).

Passo 3

Calculo o fator de repulsão \left(1-\dfrac{1}{n}\right) com n=9:
1-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\approx 0,888\overline{8}.

Passo 4

Calculo e^2 (usando e=1,602\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}):
e^2 = (1,602\times 10^{-19})^2 = 2,566404\times 10^{-38}\\ \mathrm{C}^2.

Passo 5

Calculo o numerador da fração que aparece na fórmula: N_A\,M\,z_+z_-\,e^2.
Como z_+z_-=1, temos
N_A\,M\,e^2 = (6,022\times 10^{23})\times 1,7476 \times (2,566404\times 10^{-38}).
Faço a multiplicação em duas etapas:
(6,022\times 10^{23})\times (2,566404\times 10^{-38}) = (6,022\times 2,566404)\times 10^{23-38}
=15,4548849\times 10^{-15} =1,54548849\times 10^{-14}.
Agora multiplico por M=1,7476:
1,54548849\times 10^{-14}\times 1,7476 = 2,70035178\times 10^{-14}.
Portanto, o numerador é
N_A\,M\,e^2 \approx 2,70035178\times 10^{-14}\\ \mathrm{C}^2\,\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 6

Calculo o denominador 4\pi\varepsilon_0\,r_0.
Primeiro \varepsilon_0\,r_0:
\varepsilon_0\,r_0 = (8,854\times 10^{-12})\times (2,81\times 10^{-10}) =24,87974\times 10^{-22} =2,487974\times 10^{-21}.
Agora multiplico por 4\pi:
4\pi\,\varepsilon_0\,r_0 = 4\pi\times 2,487974\times 10^{-21} \approx 12,5663706\times 2,487974\times 10^{-21}
\approx 31,264804\times 10^{-21} =3,1264804\times 10^{-20}.
Assim o denominador vale aproximadamente 3,1264804\times 10^{-20} (unidades que, junto com o numerador, conduzem a joules por mol).

Passo 7

Faço a divisão numerador/denominador:
\frac{N_A\,M\,e^2}{4\pi\varepsilon_0\,r_0} \approx \frac{2,70035178\times 10^{-14}}{3,1264804\times 10^{-20}} = \frac{2,70035178}{3,1264804}\times 10^{6}.
Calculando a razão:
\frac{2,70035178}{3,1264804}\approx 0,863707,
portanto
\frac{N_A\,M\,e^2}{4\pi\varepsilon_0\,r_0}\approx 0,863707\times 10^{6}\\ \mathrm{J}/\mathrm{mol} =8,63707\times 10^{5}\\ \mathrm{J}/\mathrm{mol}.

Passo 8

Multiplico pelo fator \left(1-\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{8}{9} e aplico o sinal negativo:
U = -\left(8,63707\times 10^{5}\right)\times \frac{8}{9}\\ \mathrm{J}/\mathrm{mol}.
Calculando:
\frac{8}{9}\times 8,63707\times 10^{5} \approx 0,888\overline{8}\times 8,63707\times 10^{5} \approx 7,67063\times 10^{5}\\ \mathrm{J}/\mathrm{mol}.
Com o sinal:
U \approx -7,67063\times 10^{5}\\ \mathrm{J}/\mathrm{mol}.

Passo 9

Converto para \mathrm{kJ}/\mathrm{mol} dividindo por 10^{3}:
U \approx -767,063\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{mol}.
Arredondando para duas casas decimais (como solicitado):
U \approx -767,06\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{mol}.

Resposta

-767,06 kJ/mol

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