As coordenadas de espaço-tempo de dois eventos no referencial ( S ) são [ x_{1}=6.10^{4} \mathrm{~m}, \left.y_{1}=0 \mathrm{~m}, z_{1}=0 \mathrm{~m}, t_{1}=2.10^{-4} \mathrm{~s}\right] e \left[x_{2}=12.10^{4} \mathrm{~m}, y_{2}=0 \mathrm{~m}, z_{2}=0 \mathrm{~m}, t_{2}=1.10^{-4} \mathrm{~s}\right].
(a) Qual deve ser a velocidade de um referencial ( S^{\prime} ), em relação a ( S ), se ( S^{\prime} ) mede os dois eventos simultânemente?(Resp: 0,5 c )
(b) Qual a separação espacial dos dois eventos em ( S^{\prime} )? (Resp: 5,2.10^{4} \mathrm{~m} )
\begin{aligned} x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime} & =\frac{1}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}}\left(x_{2}-v t_{2}\right)-\frac{1}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}}\left(x_{1}-v t_{1}\right) \\\ x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime} & =\frac{1}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}}\left(x_{2}-x_{1}-v\left(t_{2}-t_{1}\right)\right) \\\ x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime} & =\frac{1}{\sqrt{1-(0,5)^{2}}}\left(12.10^{4}-6.10^{4}-\frac{3.10^{8}}{2}\left(10^{-4}-2.10^{-4}\right)\right) \\\ x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime} & =1,155\left(6.10^{4}-1,5.10^{4}\right) \\\ x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime} & =5,2.10^{4} m \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá duas eventos em S com coordenadas
(x_{1},t_{1})=(6\times10^{4}\,\mathrm{m},\,2\times10^{-4}\,\mathrm{s}),\quad (x_{2},t_{2})=(12\times10^{4}\,\mathrm{m},\,1\times10^{-4}\,\mathrm{s}),
e pede:
(a) a velocidade v de S' de modo que os eventos sejam simultâneos em S';
(b) a separação espacial \Delta x'=x_{2}'-x_{1}' em S'.
Vamos usar as fórmulas de Lorentz para diferenças de tempo e espaço:
\Delta t'=\gamma\bigl(\Delta t-\frac{v\,\Delta x}{c^{2}}\bigr),\qquad \Delta x'=\gamma\bigl(\Delta x - v\,\Delta t\bigr),
onde \gamma=1/\sqrt{1-(v/c)^{2}}.

Passo 2

Para achar v que torna \Delta t'=0 (simultaneidade em S'), impomos
0=\Delta t'=\gamma\Bigl(\Delta t-\frac{v\,\Delta x}{c^{2}}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \Delta t=\frac{v\,\Delta x}{c^{2}}.
Calculamos
\Delta x = x_{2}-x_{1} = (12-6)\times10^{4}\,\mathrm{m}=6\times10^{4}\,\mathrm{m},
\Delta t = t_{2}-t_{1} = 1\times10^{-4}\,\mathrm{s} - 2\times10^{-4}\,\mathrm{s} = -1\times10^{-4}\,\mathrm{s}.
Substituindo em \Delta t = v\,\Delta x/c^{2}, obtemos
v = \frac{c^{2}\,\Delta t}{\Delta x} = \frac{(3\times10^{8}\,\mathrm{m/s})^{2}\times(-1\times10^{-4}\,\mathrm{s})}{6\times10^{4}\,\mathrm{m}} = -1{,}5\times10^{8}\,\mathrm{m/s} = -0{,}5\,c.
O sinal negativo indica que S' se move no sentido -x com módulo 0{,}5\,c.

Passo 3

Agora calculamos a separação espacial em S':
\Delta x'=\gamma\bigl(\Delta x - v\,\Delta t\bigr), \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}5^{2}}} \approx 1{,}155.
Note que v\,\Delta t = (-0{,}5\,c)\times(-1\times10^{-4}\,\mathrm{s}) = +1{,}5\times10^{4}\,\mathrm{m}.
Logo,
\Delta x' = 1{,}155\bigl(6\times10^{4} - 1{,}5\times10^{4}\bigr)\,\mathrm{m} = 1{,}155\times4{,}5\times10^{4}\,\mathrm{m} \approx 5{,}2\times10^{4}\,\mathrm{m}.

Resposta

(a) v=0{,}5\,c (módulo).
(b) \Delta x'=5{,}2\times10^{4}\,\mathrm{m}.

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