Um engarrafador de vinho tem duas máquinas funcionando e necessita que a quantidade média de vinho por garrafa que sai da máquina
seja maior do que a da máquina
. Para verificar se realmente isto está ocorrendo colheu duas amostra de 5 garrafas, uma de cada máquina e mediu a quantidade de vinho. Os resultados encontram-se na tabela abaixo. Utilizando os resultados dos testes elaborados via Excel que se encontram abaixo, decida qual a conclusão do engarrafador utilizando um nível de significância de 5% Justifique o teste utilizado baseado nas suposições que foram feitas.
Máquina A | 990 | 995 | 998 | 1004 | 1000 |
---|---|---|---|---|---|
Máquina B | 988 | 990 | 1000 | 986 | 985 |
Teste-F: duas amostras para variâncias
Máquina
|
Máquina B | |
---|---|---|
Média | 997,4 | 989,8 |
Variância | 27,8 | 36,2 |
Observaçōes | 5 | 5 |
gl | 4 | 4 |
F | 0,767955801 | |
P(F<=f) uni-ca | 0,402127747 | |
Fcrítico uni-ci | 0,156537812 | |
Teste-t: duas amostras presumindo variâncias equivalent | ||
:— | —: | —: |
Máquina A | Máquina B | |
Média | 997,4 | 989,8 |
Variância | 27,8 | 36,2 |
Observações | 5 | 5 |
Variância agrupada | 32 | |
Hipótese da diferença de média | 0 | |
gl | 8 | |
Stat t | 2,124264579 | |
P(T<=t) uni-caudal | 0,033191532 | |
t crítico uni-caudal | 1,859548038 | |
P(T<t) bi-caudal | 0,066383064 | |
t crítico bi-caudal | 2,306004135 |
Passo 1
Opa! Então, o que a questão tá pedindo é testar se a média de vinho que a máquina A engarrafa é maior do que a da máquina B. Isso é um teste de hipóteses para diferença de médias entre duas amostras independentes. Como a gente não sabe se as variâncias são iguais, primeiro a gente vai fazer um Teste F para variâncias. Se der pra assumir variâncias iguais, aí sim rola o Teste t com variâncias agrupadas. Vamos precisar das fórmulas do Teste F e do Teste t, além dos valores de média, variância e número de observações que já foram calculados no Excel.
Passo 2
Primeiro, o Teste F para ver se dá pra assumir variâncias iguais:
- Hipóteses:
H₀: σ₁² = σ₂² versus H₁: σ₁² ≠ σ₂² (teste bilateral). - Estatística:
- Graus de liberdade:
- Valor crítico (bilateral, α=5%):
e também o inverso para o teto (≈6,39). - Comparação:
Como, não rejeitamos H₀.
Ou pelo p-valor unicaudal dado (0,4021) que é >0,05.
Conclusão do passo: variâncias parecem iguais, então podemos usar o Teste t para variâncias iguais.
Passo 3
Agora o Teste t (unicaudal, pois queremos
):
- Hipóteses:
H₀: μ_A − μ_B = 0 versus H₁: μ_A − μ_B > 0. - Variância agrupada:
- Estatística t:
- Graus de liberdade:
- Valor crítico (unicaudal, α=5%):
- Comparação:
Como, rejeitamos H₀.
(Ou veja p-valor ≈0,0332 <0,05.)
Resposta
Com nível de 5%, rejeitamos H₀ e concluímos que a média de vinho da máquina A é estatisticamente maior que a da máquina B.