Um engarrafador de vinho tem duas máquinas funcionando e necessita que a quantidade média de vinho por garrafa que sai da máquina A seja maior do que a da máquina B. Para verificar se realmente isto está ocorrendo colheu duas amostra de 5 garrafas, uma de cada máquina e mediu a quantidade de vinho. Os resultados encontram-se na tabela abaixo. Utilizando os resultados dos testes elaborados via Excel que se encontram abaixo, decida qual a conclusão do engarrafador utilizando um nível de significância de 5% Justifique o teste utilizado baseado nas suposições que foram feitas.
Máquina A 990 995 998 1004 1000
Máquina B 988 990 1000 986 985
Teste-F: duas amostras para variâncias
Máquina A Máquina B
Média 997,4 989,8
Variância 27,8 36,2
Observaçōes 5 5
gl 4 4
F 0,767955801
P(F<=f) uni-ca 0,402127747
Fcrítico uni-ci 0,156537812
Teste-t: duas amostras presumindo variâncias equivalent
:— —: —:
Máquina A Máquina B
Média 997,4 989,8
Variância 27,8 36,2
Observações 5 5
Variância agrupada 32
Hipótese da diferença de média 0
gl 8
Stat t 2,124264579
P(T<=t) uni-caudal 0,033191532
t crítico uni-caudal 1,859548038
P(T<t) bi-caudal 0,066383064
t crítico bi-caudal 2,306004135

Passo 1

Opa! Então, o que a questão tá pedindo é testar se a média de vinho que a máquina A engarrafa é maior do que a da máquina B. Isso é um teste de hipóteses para diferença de médias entre duas amostras independentes. Como a gente não sabe se as variâncias são iguais, primeiro a gente vai fazer um Teste F para variâncias. Se der pra assumir variâncias iguais, aí sim rola o Teste t com variâncias agrupadas. Vamos precisar das fórmulas do Teste F e do Teste t, além dos valores de média, variância e número de observações que já foram calculados no Excel.

Passo 2

Primeiro, o Teste F para ver se dá pra assumir variâncias iguais:
  1. Hipóteses:
    H₀: σ₁² = σ₂² versus H₁: σ₁² ≠ σ₂² (teste bilateral).
  2. Estatística:
  3. Graus de liberdade:
  4. Valor crítico (bilateral, α=5%):
    e também o inverso para o teto (≈6,39).
  5. Comparação:
    Como , não rejeitamos H₀.
    Ou pelo p-valor unicaudal dado (0,4021) que é >0,05.
Conclusão do passo: variâncias parecem iguais, então podemos usar o Teste t para variâncias iguais.

Passo 3

Agora o Teste t (unicaudal, pois queremos sp^2 = (nA-1)sA^2 + (nB-1)sB^2nA + nB -2 = 4cdot27,8 + 4cdot36,28 = 2568 = 32 ):
  1. Hipóteses:
    H₀: μ_A − μ_B = 0 versus H₁: μ_A − μ_B > 0.
  2. Variância agrupada: t = bar xA - bar xBraizsp^2l(tfrac1nA+tfrac1nBr) = 997,4 - 989,8raiz32,(0,2+0,2) = 7,6raiz12,8 approx 2,124
  3. Estatística t:
  4. Graus de liberdade:
  5. Valor crítico (unicaudal, α=5%):
  6. Comparação:
    Como , rejeitamos H₀.
    (Ou veja p-valor ≈0,0332 <0,05.)

Resposta

Com nível de 5%, rejeitamos H₀ e concluímos que a média de vinho da máquina A é estatisticamente maior que a da máquina B.

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