Aplica-se uma fem de
aos extremos de uma ligação em serie de um indutor de
com um resistor de
. (a) Calcule a potência instantânea fornecida pela bateria no tempo de 0,3 s (igual a constante de tempo) apos a ligação do circuito. (b) Qual a potência instantânea dissipada sob a forma de calor no resistor?
(c) Qual o valor instantâneo da taxa de acumulação de energia no campo magnético? Resp. (a)
(b)
(c)
.
(c) Qual o valor instantâneo da taxa de acumulação de energia no campo magnético? Resp. (a)
(b)
Passo 1
O enunciado dá um circuito série com uma fonte de fem
, um indutor
e um resistor
. O circuito é fechado no instante
. Perguntas:
(a) calcular a potência instantânea fornecida pela bateria no tempo (que é igual à constante de tempo do circuito);
(b) calcular a potência instantânea dissipada sob a forma de calor no resistor nesse mesmo instante;
(c) calcular a taxa instantânea de acumulação de energia no campo magnético do indutor nesse instante.
(a) calcular a potência instantânea fornecida pela bateria no tempo
(b) calcular a potência instantânea dissipada sob a forma de calor no resistor nesse mesmo instante;
(c) calcular a taxa instantânea de acumulação de energia no campo magnético do indutor nesse instante.
Dados extraídos do enunciado:
,
,
, e o tempo pedido é
, que coincide com a constante de tempo
.
Passo 2
Vamos montar a equação diferencial que governa a corrente no circuito RL série. A lei de Kirchhoff de tensões dá:
Isto significa: a queda de tensão no indutor
mais a queda de tensão no resistor
deve ser igual à fem aplicada
.
Para resolver essa equação usamos a solução padrão para resposta a degrau (fem constante aplicada em
). A solução geral é soma da solução homogênea e de uma particular:
- Solução particular (regime permanente):
. - Solução homogênea:
.
Aplicando a condição inicial
(indutor impede variação instantânea de corrente), obtemos
Portanto a corrente no transiente é
onde definimos a constante de tempo
Passo 3
Calculemos os valores numéricos úteis:
A corrente em regime final (tendente ao infinito) vale
No instante pedido
temos
Use que
, então
e
(Expliquei o valor de
porque ele aparece muito em transientes; se na prova não tiver calculadora, memorize
.)
Passo 4
Agora escrevemos as fórmulas de potência que vamos usar e explico o porquê de cada uma:
- Potência instantânea fornecida pela fonte (bateria): é a tensão da fonte vezes a corrente que ela entrega:
Aqui
é em volts e
em ampères, logo
em watts.
- Potência dissipada no resistor (calor): pelo efeito Joule é
Isto dá sempre energia dissipada (positiva) enquanto houver corrente.
- Potência associada ao indutor: a potência que vai para o indutor (ou sai dele) é
onde
é a tensão no indutor. Essa potência
é a taxa de variação da energia armazenada no campo magnético do indutor. Também podemos escrever, usando a solução do transiente, uma forma prática:
logo
Observe a relação de conservação de potência:
ou seja, o que a fonte fornece é parcialmente dissipado no resistor e parcialmente acumulado no indutor.
Passo 5
Calculemos numericamente os três termos no instante
.
Já temos
e
.
(a) Potência fornecida pela bateria:
Arredondando para três casas decimais:
Passo 6
(b) Potência dissipada no resistor:
Calculemos o quadrado:
portanto
Arredondando:
Passo 7
(c) Potência/ taxa de acumulação de energia no indutor (campo magnético). Podemos usar
ou a expressão direta
. Usando a expressão direta:
Calculando:
Arredondando:
Verificação de consistência (conservação de potência):
o que bate com o cálculo direto.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)