Engenharia Civil. Duas lajes inclinadas paralelas são representadas por
e
Calcule a distância entre as lajes.
Passo 1
O enunciado fornece duas lajes (planos) paralelas descritas pelas equações:
O que se pede: calcular a distância entre as duas lajes (entre os dois planos).
Informações extraídas do enunciado (úteis para resolver):
- Coeficientes da forma geral
para cada plano: - Para
: - Para
:
- Para
Passo 2
Vamos entender e apresentar a fórmula que usaremos (a explicação é importante para saber aplicar na prova).
Definição e ideias:
- O vetor normal ao plano definido por
é . Esse vetor é perpendicular ao plano. - A distância de um ponto
até o plano é dada por
Aqui:
-
são os coeficientes do plano, -
são as coordenadas do ponto, - o numerador
é o valor absoluto do “resíduo” ao substituir o ponto na equação do plano, - o denominador
é a norma (módulo) do vetor normal .
Para duas retas planas paralelas (no caso, dois planos paralelos com o mesmo vetor normal), a distância entre elas pode ser obtida escolhendo qualquer ponto de um plano e calculando a distância desse ponto até o outro plano com a fórmula acima. Há também uma fórmula direta: se os planos são
então a distância entre eles é
As duas fórmulas são equivalentes: pegar um ponto de um plano e substituí-lo no outro leva ao mesmo resultado.
Passo 3
Identificar o vetor normal e calcular sua norma.
A partir das equações vemos que o vetor normal é
A norma (módulo) de
é
Passo 4
Método prático: escolher um ponto simples que pertença a
e calcular a distância desse ponto até
.
Para achar um ponto em
escolhe-se valores convenientes para duas coordenadas e resolve-se a terceira. Por exemplo, tomando
e
na equação de
:
Assim um ponto em
é
.
Passo 5
Aplicar a fórmula da distância ponto–plano para o ponto
e o plano
.
Para
temos
. Substituindo
na fórmula
obtemos
Observação alternativa (mais direta): escrevendo os termos constantes como
e
, aplica-se a fórmula direta para planos paralelos:
que dá o mesmo resultado.
Passo 6
Interpretação final e incentivo: a distância entre as duas lajes é
. Bom trabalho — já dá pra acostumar com esse procedimento rápido na prova: identificar
, calcular
e usar
ou pegar um ponto e usar a fórmula ponto–plano.