Engenharia Civil. Duas lajes inclinadas paralelas são representadas por
\pi_{1}: 2 x-y+2 z-6=0
e
\pi_{2}: 2 x-y+2 z-18=0 .
Calcule a distância entre as lajes.

Passo 1

O enunciado fornece duas lajes (planos) paralelas descritas pelas equações:
\pi_{1}: 2x - y + 2z - 6 = 0
\pi_{2}: 2x - y + 2z - 18 = 0.
O que se pede: calcular a distância entre as duas lajes (entre os dois planos).
Informações extraídas do enunciado (úteis para resolver):
  • Coeficientes da forma geral Ax+By+Cz+D=0 para cada plano:
    • Para \pi_{1}: A=2,\;B=-1,\;C=2,\;D=-6.
    • Para \pi_{2}: A=2,\;B=-1,\;C=2,\;D=-18.

Passo 2

Vamos entender e apresentar a fórmula que usaremos (a explicação é importante para saber aplicar na prova).
Definição e ideias:
  • O vetor normal ao plano definido por Ax+By+Cz+D=0 é n=(A,B,C). Esse vetor é perpendicular ao plano.
  • A distância de um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) até o plano Ax+By+Cz+D=0 é dada por
d(P_0,\text{plano})=\frac{\left|A x_0+B y_0+C z_0+D\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}.
Aqui:
  • A,B,C,D são os coeficientes do plano,
  • x_0,y_0,z_0 são as coordenadas do ponto,
  • o numerador \left|A x_0+B y_0+C z_0+D\right| é o valor absoluto do “resíduo” ao substituir o ponto na equação do plano,
  • o denominador \sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}} é a norma (módulo) do vetor normal n.
Para duas retas planas paralelas (no caso, dois planos paralelos com o mesmo vetor normal), a distância entre elas pode ser obtida escolhendo qualquer ponto de um plano e calculando a distância desse ponto até o outro plano com a fórmula acima. Há também uma fórmula direta: se os planos são
n\cdot r + D_1 = 0\quad\text{e}\quad n\cdot r + D_2 = 0,
então a distância entre eles é
d=\frac{|D_2-D_1|}{\|n\|}.
As duas fórmulas são equivalentes: pegar um ponto de um plano e substituí-lo no outro leva ao mesmo resultado.

Passo 3

Identificar o vetor normal e calcular sua norma.
A partir das equações vemos que o vetor normal é
n=(2,-1,2).
A norma (módulo) de n é
\|n\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.

Passo 4

Método prático: escolher um ponto simples que pertença a \pi_{1} e calcular a distância desse ponto até \pi_{2}.
Para achar um ponto em \pi_{1} escolhe-se valores convenientes para duas coordenadas e resolve-se a terceira. Por exemplo, tomando y=0 e z=0 na equação de \pi_{1}:
2x - 0 + 2\cdot 0 - 6 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x - 6 = 0 \quad\Rightarrow\quad x=3.
Assim um ponto em \pi_{1} é P_0=(3,0,0).

Passo 5

Aplicar a fórmula da distância ponto–plano para o ponto P_0 e o plano \pi_{2}.
Para \pi_{2} temos A=2,\;B=-1,\;C=2,\;D=-18. Substituindo P_0=(3,0,0) na fórmula
d=\frac{\left|A x_0+B y_0+C z_0+D\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}
obtemos
d=\frac{\left|2\cdot 3 + (-1)\cdot 0 + 2\cdot 0 -18\right|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}} =\frac{|6-18|}{3}=\frac{12}{3}=4.
Observação alternativa (mais direta): escrevendo os termos constantes como D_1=-6 e D_2=-18, aplica-se a fórmula direta para planos paralelos:
d=\frac{|D_2-D_1|}{\|n\|}=\frac{|-18-(-6)|}{3}=\frac{12}{3}=4,
que dá o mesmo resultado.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: a distância entre as duas lajes é 4. Bom trabalho — já dá pra acostumar com esse procedimento rápido na prova: identificar A,B,C,D, calcular \|n\| e usar \dfrac{|D_2-D_1|}{\|n\|} ou pegar um ponto e usar a fórmula ponto–plano.

Resposta

\;4\;

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