Engenharia de Petróleo. O topo e a base aproximados de uma camada de reservatório são dados por
\pi_{1}: x+2 y+2 z+3000=0
e
\pi_{2}: x+2 y+2 z+3060=0 .
Calcule a espessura perpendicular da camada.

Passo 1

O enunciado fornece as equações das superfícies que representam o topo e a base de uma camada:
\pi_{1}: x+2y+2z+3000=0
\pi_{2}: x+2y+2z+3060=0.
O que é pedido: calcular a espessura perpendicular da camada (a menor distância entre as duas superfícies). Informações relevantes dadas:
  • As duas equações têm os mesmos coeficientes nas variáveis x,y,z.
  • A diferença entre as constantes livres é 3060-3000=60.
  • Deve-se devolver a espessura na mesma unidade das coordenadas (presumivelmente metros).

Passo 2

Entender o que significa “espessura perpendicular” e a fórmula que vamos usar.
A espessura perpendicular entre duas superfícies planas paralelas é a menor distância entre elas, isto é, a distância ao longo da direção normal comum às duas superfícies. Para uma reta ou plano com equação \,a x+b y+c z+d=0, o vetor normal é (a,b,c). A fórmula para a distância de um ponto (x_0,y_0,z_0) até o plano é
\mathrm{dist}=\frac{\left|a x_0+b y_0+c z_0+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
Para duas planas paralelas \,a x+b y+c z+d_1=0 e \,a x+b y+c z+d_2=0, pode-se tomar qualquer ponto de uma delas e aplicar a fórmula ao outro plano, o que conduz à forma simples
\text{distância entre as duas planas}=\frac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.â
Esta é a fórmula que vamos aplicar. (Motivação rápida: a diferença numérica nas constantes representa deslocamento ao longo da direção do vetor normal; dividir pelo comprimento do normal dá a componente escalar de deslocamento.)

Passo 3

Identificar os coeficientes a,b,c e calcular a norma do vetor normal.
Das equações dadas temos
a=1,\quad b=2,\quad c=2,
logo o vetor normal é n=(1,2,2). O comprimento (norma) de n é
\|n\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.

Passo 4

Calcular a diferença entre as constantes d_2 e d_1 e aplicar a fórmula.
Aqui d_1=3000 e d_2=3060, então
|d_2-d_1|=|3060-3000|=60.
Aplicando a fórmula da Passo 2:
\text{espessura}=\frac{|d_2-d_1|}{\|n\|}=\frac{60}{3}=20.

Passo 5

Interpretação e dica prática: a espessura perpendicular da camada é 20 (na mesma unidade das coordenadas do problema; normalmente metros). Em prova, ao ver duas planas com mesmos coeficientes em x,y,z, use diretamente \dfrac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.

Resposta

20

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