Engenharia Ambiental e Sanitária. Duas camadas de solo são aproximadas pelos planos paralelos
\pi_{1}: z+4=0
e
\pi_{2}: z+9=0
Calcule a espessura da camada entre elas.

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies planas paralelas e pede a espessura (distância) da camada entre elas. Informações fornecidas:
  • Plano \pi_{1}: \;z+4=0.
  • Plano \pi_{2}: \;z+9=0.
Pergunta a responder:
  • Qual é a espessura (distância mínima perpendicular) entre \pi_{1} e \pi_{2}?

Passo 2

Vamos entender o que significa “espessura” entre dois planos paralelos: é a distância medida ao longo da direção normal aos planos (a menor distância entre eles), isto é, a distância perpendicular entre qualquer ponto de um plano e o outro plano.
Fórmula útil (que vamos usar e explicar): dado um ponto (x_0,y_0,z_0) e um plano escrito na forma geral \;a x + b y + c z + d = 0, a distância perpendicular do ponto ao plano é
\frac{\bigl|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\bigr|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
Aqui:
  • a,b,c são os coeficientes da equação do plano (definem a direção do vetor normal (a,b,c));
  • d é a constante do plano;
  • (x_0,y_0,z_0) é o ponto cuja distância ao plano se quer medir;
  • o numerador calcula a “projeção” do vetor posição no plano (em valor absoluto para ser distância positiva);
  • o denominador normaliza pelo comprimento do vetor normal.
Para duas planos paralelos escritos com o mesmo vetor normal, ou seja
a x + b y + c z + d_{1} = 0 \qquad\text{e}\qquad a x + b y + c z + d_{2} = 0,
a distância entre eles é simplesmente
\frac{\bigl|d_{2}-d_{1}\bigr|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},
pois pode-se escolher um ponto de um plano e aplicar a fórmula acima ao outro plano.

Passo 3

Colocando nossos planos na forma geral padrão identificamos os coeficientes:
  • Para \pi_{1}:\;z+4=0 temos a=0, b=0, c=1 e d_{1}=4.
  • Para \pi_{2}:\;z+9=0 temos a=0, b=0, c=1 e d_{2}=9.
Aplicando a fórmula direta para a distância entre planos paralelos:
\text{dist}=\frac{\bigl|d_{2}-d_{1}\bigr|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} = \frac{\bigl|9-4\bigr|}{\sqrt{0^{2}+0^{2}+1^{2}}}.

Passo 4

Agora calculamos os valores numéricos passo a passo:
\bigl|9-4\bigr| = 5, \qquad \sqrt{0^{2}+0^{2}+1^{2}} = \sqrt{1} = 1.
Portanto
\text{dist}=\frac{5}{1}=5.
Como verificação alternativa (mesma ideia, só aplicada diretamente): um ponto de \pi_{1} é (0,0,-4) (pois -4 + 4 = 0). A distância desse ponto ao plano \pi_{2}:\;z+9=0 pela fórmula ponto-plano é
\frac{\bigl|0\cdot0 + 0\cdot0 + 1\cdot(-4) + 9\bigr|}{\sqrt{0^{2}+0^{2}+1^{2}}} = \frac{\bigl|-4+9\bigr|}{1}=\frac{5}{1}=5,
mesmo resultado.

Passo 5

Interpretação final: as duas equações representam planos horizontais z=-4 e z=-9. A distância perpendicular entre eles é simplesmente a diferença absoluta entre as coordenadas z, ou seja |-4-(-9)| = 5. Isso confirma o cálculo anterior.
Força aí — você já domina a ideia: quando os planos são paralelos, basta comparar as constantes ao longo do mesmo vetor normal.

Resposta

5

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