Engenharia Ambiental e Sanitária. Duas camadas de solo são aproximadas pelos planos paralelos
\pi_{1}: z+4=0
e
\pi_{2}: z+9=0
Calcule a espessura da camada entre elas.
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies planas paralelas e pede a espessura (distância) da camada entre elas. Informações fornecidas:
Plano \pi_{1}: \;z+4=0.
Plano \pi_{2}: \;z+9=0.
Pergunta a responder:
Qual é a espessura (distância mínima perpendicular) entre \pi_{1} e \pi_{2}?
Passo 2
Vamos entender o que significa “espessura” entre dois planos paralelos: é a distância medida ao longo da direção normal aos planos (a menor distância entre eles), isto é, a distância perpendicular entre qualquer ponto de um plano e o outro plano.
Fórmula útil (que vamos usar e explicar): dado um ponto (x_0,y_0,z_0) e um plano escrito na forma geral \;a x + b y + c z + d = 0, a distância perpendicular do ponto ao plano é
\frac{\bigl|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\bigr|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
Aqui:
a,b,c são os coeficientes da equação do plano (definem a direção do vetor normal (a,b,c));
d é a constante do plano;
(x_0,y_0,z_0) é o ponto cuja distância ao plano se quer medir;
o numerador calcula a “projeção” do vetor posição no plano (em valor absoluto para ser distância positiva);
o denominador normaliza pelo comprimento do vetor normal.
Para duas planos paralelos escritos com o mesmo vetor normal, ou seja
a x + b y + c z + d_{1} = 0 \qquad\text{e}\qquad a x + b y + c z + d_{2} = 0,
Como verificação alternativa (mesma ideia, só aplicada diretamente): um ponto de \pi_{1} é (0,0,-4) (pois -4 + 4 = 0). A distância desse ponto ao plano \pi_{2}:\;z+9=0 pela fórmula ponto-plano é
Interpretação final: as duas equações representam planos horizontais z=-4 e z=-9. A distância perpendicular entre eles é simplesmente a diferença absoluta entre as coordenadas z, ou seja |-4-(-9)| = 5. Isso confirma o cálculo anterior.
Força aí — você já domina a ideia: quando os planos são paralelos, basta comparar as constantes ao longo do mesmo vetor normal.