(Engenharia Elétrica) Dada a matriz de impedância:
Z=(lll 5 & 1 & 2 1 & 4 & 3 2 & 3 & 6 )
Calcule o determinante de Z e interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz de impedância
Z = 5 & 1 & 2 1 & 4 & 3 2 & 3 & 6
e sua interpretação no contexto de circuitos. O conteúdo aqui envolve cálculo de determinante de matriz 3times3 e conceitos de invertibilidade e positividade de matriz de impedâncias.

Passo 2

Recordamos a fórmula do determinante de uma matriz 3times3: para
Z= a & b & c d & e & f g & h & i
temos
det(Z) = a,(e,i - f,h);-;b,(d,i - f,g);+;c,(d,h - e,g)

Passo 3

Identificamos em Z os coeficientes
a=5,;b=1,;c=2,;d=1,;e=4,;f=3,;g=2,;h=3,;i=6
e calculamos os menores:
e,i - f,h = 4cdot6 - 3cdot3 = 24 - 9 = 15,
d,i - f,g = 1cdot6 - 3cdot2 = 6 - 6 = 0,
d,h - e,g = 1cdot3 - 4cdot2 = 3 - 8 = -5

Passo 4

Substituindo na fórmula principal:
det(Z) = 5cdot15 ;-; 1cdot0 ;+; 2cdot(-5) = 75 - 0 - 10 = 65

Passo 5

Como det(Z)=65neq0, a matriz é invertível (não singular). Além disso, seus menores principais
;5>0,;;5cdot4-1=19>0,;;det(Z)=65>0
mostram que Z é positiva definida. No contexto de circuitos, isso significa que a rede de impedâncias é passiva (não gera energia) e que o sistema de equações nodais possui solução única de correntes para um dado vetor de tensões.

Resposta

det(Z)=65, e como é positivo e não nulo, Z é invertível e positiva definida, indicando uma rede passiva e bem condicionada.

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