Engenharia de Petróleo. Um evento microssísmico ocorreu no ponto
P=(400,210,-2300)
Uma falha geológica é modelada pelo plano
\pi: 3 x-y+2 z+3500=0 .
Calcule a distância do evento até a falha.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O ponto do evento microssísmico P = (400,210,-2300).
  • A equação do plano da falha \pi: 3x - y + 2z + 3500 = 0.
O que se pede:
  • Calcular a distância do ponto P até o plano \pi.

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicação pedagogicamente detalhada).
  • Para um plano escrito na forma geral \,Ax+By+Cz+D=0\,, um vetor normal ao plano é \mathbf{n}=(A,B,C). Esse vetor aponta perpendicularmente ao plano.
  • A distância (orientada) do ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) ao plano é dada pela projeção do vetor que liga um ponto qualquer do plano até P_0 sobre a direção do vetor normal. A fórmula resultante, já bem conhecida e fácil de usar, é:
\text{distância}=\frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.â
  • Explicando cada símbolo:
    • A,B,C,D são os coeficientes do plano \,Ax+By+Cz+D=0.
    • (x_0,y_0,z_0) são as coordenadas do ponto cuja distância ao plano se quer.
    • O numerador A x_0 + B y_0 + C z_0 + D é o valor da equação do plano avaliada no ponto; divide-se pelo comprimento do vetor normal \sqrt{A^2+B^2+C^2} para obter a distância em unidades iguais às coordenadas.
  • Sempre tomar valor absoluto porque distância é não negativa.

Passo 3

Identificar A,B,C,D a partir do plano dado.
  • Da equação \pi: 3x - y + 2z + 3500 = 0 obtemos:
    • A=3, B=-1, C=2, D=3500.
  • Portanto o vetor normal é \mathbf{n}=(3,-1,2).
  • Calcular o denominador \sqrt{A^2+B^2+C^2}:
\sqrt{A^2+B^2+C^2}=\sqrt{3^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}.

Passo 4

Calcular o numerador A x_0 + B y_0 + C z_0 + D substituindo P=(400,210,-2300).
  • Fazer as multiplicações e somas passo a passo:
    • 3\cdot 400 = 1200.
    • (-1)\cdot 210 = -210.
    • 2\cdot(-2300) = -4600.
    • Somando tudo com D=3500:
1200 + (-210) + (-4600) + 3500 = 1200 -210 -4600 +3500.
  • Calculando em sequência:
    • 1200 -210 = 990.
    • 990 -4600 = -3610.
    • -3610 +3500 = -110.
  • Então o numerador é -110. Tomando valor absoluto:
|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D| = |-110| = 110.

Passo 5

Aplicar a fórmula da distância e obter o resultado exato e aproximado.
  • Distância:
\text{distância}=\frac{110}{\sqrt{14}}.â
  • Aproximação numérica (usar \sqrt{14}\approx 3{,}741657):
\frac{110}{\sqrt{14}}\approx 29{,}43.
  • Interpretando: a distância está nas mesmas unidades das coordenadas dadas (provavelmente metros).

Resposta

\displaystyle \frac{110}{\sqrt{14}}\approx 29{,}43

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