Engenharia Química. Um sensor de gás está no ponto
P=(10,6,4)
Uma barreira de segurança é representada pelo plano
\pi: x-2 y+2 z-8=0
Calcule a distância entre o sensor e a barreira.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • O ponto sensor é P=(10,6,4).
  • A barreira (plano) é dada por \pi: x-2y+2z-8=0.
    O que pede o problema:
  • Calcular a distância entre o ponto P e o plano \pi.

Passo 2

Vamos entender a ideia por trás da distância ponto–plano (a explicação é para você poder aplicar isso na prova sem erro).
  1. A equação geral de um plano é
Ax+By+Cz+D=0,
onde (A,B,C) é um vetor normal ao plano (vetor perpendicular ao plano). Esse vetor normal será chamado de \mathbf{n}.
  1. Se Q é qualquer ponto pertencente ao plano e P é o ponto fora do plano, então o vetor \overrightarrow{QP} = P-Q vai de um ponto do plano até o ponto P. A distância desejada é a componente desse vetor na direção perpendicular ao plano — ou seja, a projeção de \overrightarrow{QP} sobre o vetor normal \mathbf{n}.
  2. A fórmula da projeção nos dá que o comprimento dessa componente (em valor absoluto) é
\text{distância}=\frac{\big|\overrightarrow{QP}\cdot\mathbf{n}\big|}{\|\mathbf{n}\|},â
onde \cdot é o produto escalar e \|\mathbf{n}\| é o comprimento (norma) do vetor \mathbf{n}.
  1. Há uma forma prática e direta para calcular \overrightarrow{QP}\cdot\mathbf{n} sem escolher Q: se o plano é Ax+By+Cz+D=0 e o ponto é P=(x_0,y_0,z_0), então
\overrightarrow{QP}\cdot\mathbf{n}=Ax_0+By_0+Cz_0+D,
porque para qualquer Q=(x_q,y_q,z_q) no plano vale Ax_q+By_q+Cz_q+D=0. Assim a fórmula final, muito usada em provas, é
\text{distância}=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.â
Explicação das quantidades:
  • A,B,C,D são os coeficientes da equação do plano.
  • (x_0,y_0,z_0) são as coordenadas do ponto P.
  • O numerador é o valor absoluto do escalar que mede o deslocamento na direção do normal.
  • O denominador normaliza pelo comprimento do vetor normal, transformando o escalar em comprimento físico.

Passo 3

Agora identifique os coeficientes do plano dado \pi: x-2y+2z-8=0. Comparando com Ax+By+Cz+D=0, temos:
A=1,\qquad B=-2,\qquad C=2,\qquad D=-8.
O vetor normal é \mathbf{n}=(1,-2,2).

Passo 4

Identifique as coordenadas do ponto P:
x_0=10,\qquad y_0=6,\qquad z_0=4.

Passo 5

Calcule o numerador Ax_0+By_0+Cz_0+D passo a passo:
Ax_0+By_0+Cz_0+D = 1\cdot10 + (-2)\cdot6 + 2\cdot4 + (-8).
Agora as contas:
1\cdot10=10,\quad (-2)\cdot6=-12,\quad 2\cdot4=8,\quad -8=-8.
Somando:
10-12+8-8 = (10-12) + (8-8) = -2 + 0 = -2.
Tomamos o valor absoluto para o numerador da fórmula:
|Ax_0+By_0+Cz_0+D| = |-2| = 2.

Passo 6

Calcule o denominador \sqrt{A^2+B^2+C^2}:
A^2+B^2+C^2 = 1^2 + (-2)^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9.
Portanto
\sqrt{A^2+B^2+C^2} = \sqrt{9} = 3.

Passo 7

Agora aplique a fórmula da distância:
\text{distância} = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{2}{3}.â
Se preferir em decimal, isso é aproximadamente 0,666\ldots.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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