Engenharia Química. Um sensor de gás está no ponto
P=(10,6,4)
Uma barreira de segurança é representada pelo plano
\pi: x-2 y+2 z-8=0
Calcule a distância entre o sensor e a barreira.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados:
O ponto sensor é P=(10,6,4).
A barreira (plano) é dada por \pi: x-2y+2z-8=0.
O que pede o problema:
Calcular a distância entre o ponto P e o plano \pi.
Passo 2
Vamos entender a ideia por trás da distância ponto–plano (a explicação é para você poder aplicar isso na prova sem erro).
A equação geral de um plano é
Ax+By+Cz+D=0,
onde (A,B,C) é um vetor normal ao plano (vetor perpendicular ao plano). Esse vetor normal será chamado de \mathbf{n}.
Se Q é qualquer ponto pertencente ao plano e P é o ponto fora do plano, então o vetor \overrightarrow{QP} = P-Q vai de um ponto do plano até o ponto P. A distância desejada é a componente desse vetor na direção perpendicular ao plano — ou seja, a projeção de \overrightarrow{QP} sobre o vetor normal \mathbf{n}.
A fórmula da projeção nos dá que o comprimento dessa componente (em valor absoluto) é
onde \cdot é o produto escalar e \|\mathbf{n}\| é o comprimento (norma) do vetor \mathbf{n}.
Há uma forma prática e direta para calcular \overrightarrow{QP}\cdot\mathbf{n} sem escolher Q: se o plano é Ax+By+Cz+D=0 e o ponto é P=(x_0,y_0,z_0), então