Engenharia Química. Um sensor de gás está no ponto
P=(10,6,4)
Uma barreira de segurança é representada pelo plano
\pi: x-2 y+2 z-8=0
Calcule a distância entre o sensor e a barreira.
Passo 1
O enunciado pede calcular a distância entre o sensor (ponto)
P=(10,6,4)
e a barreira, dada pelo plano
\pi: x-2y+2z-8=0.
Informações dadas:
Coordenadas do ponto: \,P=(10,6,4).
Equação do plano na forma \,ax+by+cz+d=0, com a=1, b=-2, c=2, d=-8.
Objetivo: encontrar a menor distância entre o ponto P e qualquer ponto do plano \pi.
Passo 2
Intuição e conceito usado (passo-a-passo didático):
Um plano em 3D tem um vetor normal \,n=(a,b,c) que é perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano.
A distância do ponto P ao plano é o comprimento da projeção do vetor que liga P a qualquer ponto Q do plano sobre a direção do normal n.
Se Q é um ponto qualquer do plano, então o vetor \, \overrightarrow{QP}=P-Q tem componente ao longo de n dada pelo produto escalar (P-Q)\cdot n. A distância é o valor absoluto dessa componente dividido pelo comprimento de n.
Como verificação alternativa (didática): escolhe-se um ponto Q no plano, por exemplo tomando y=0,z=0 na equação do plano obtemos x-8=0 logo Q=(8,0,0). Então