Engenharia Química. Um sensor de gás está no ponto
P=(10,6,4)
Uma barreira de segurança é representada pelo plano
\pi: x-2 y+2 z-8=0
Calcule a distância entre o sensor e a barreira.

Passo 1

O enunciado pede calcular a distância entre o sensor (ponto)
P=(10,6,4)
e a barreira, dada pelo plano
\pi: x-2y+2z-8=0.
Informações dadas:
  • Coordenadas do ponto: \,P=(10,6,4).
  • Equação do plano na forma \,ax+by+cz+d=0, com a=1, b=-2, c=2, d=-8.
  • Objetivo: encontrar a menor distância entre o ponto P e qualquer ponto do plano \pi.

Passo 2

Intuição e conceito usado (passo-a-passo didático):
  • Um plano em 3D tem um vetor normal \,n=(a,b,c) que é perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano.
  • A distância do ponto P ao plano é o comprimento da projeção do vetor que liga P a qualquer ponto Q do plano sobre a direção do normal n.
  • Se Q é um ponto qualquer do plano, então o vetor \, \overrightarrow{QP}=P-Q tem componente ao longo de n dada pelo produto escalar (P-Q)\cdot n. A distância é o valor absoluto dessa componente dividido pelo comprimento de n.
  • Assim obtemos a fórmula (derivação sucinta):
\text{dist}(P,\pi)=\frac{\big|(P-Q)\cdot n\big|}{\|n\|},
onde \,n=(a,b,c) e \|n\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}. Essa expressão é independente da escolha de Q desde que Q pertença ao plano.
  • Há uma forma ainda mais direta: substituindo um ponto P=(x_0,y_0,z_0) na equação do plano \,ax+by+cz+d=0 obtemos
\text{dist}(P,\pi)=\frac{\big|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\big|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Vou usar essa forma direta (mas mostro também a verificação via escolha de um Q abaixo).

Passo 3

Identificar os coeficientes do plano e o vetor normal:
  • Do plano \,x-2y+2z-8=0 temos
a=1,\qquad b=-2,\qquad c=2,\qquad d=-8.
  • O vetor normal é
n=(1,-2,2).

Passo 4

Calcular o numerador da fórmula direta, substituindo as coordenadas de P:
a x_0 + b y_0 + c z_0 + d = 1\cdot 10 + (-2)\cdot 6 + 2\cdot 4 + (-8).
Fazendo as contas passo a passo:
1\cdot 10 = 10,\quad (-2)\cdot 6 = -12,\quad 2\cdot 4 = 8.
Somando:
10 + (-12) + 8 + (-8) = 10 -12 +8 -8 = -2.
O valor absoluto é \,|-2|=2.

Passo 5

Calcular o denominador (norma do vetor normal):
\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.

Passo 6

Aplicar a fórmula da distância:
\text{dist}(P,\pi)=\frac{2}{3}.
Como verificação alternativa (didática): escolhe-se um ponto Q no plano, por exemplo tomando y=0,z=0 na equação do plano obtemos x-8=0 logo Q=(8,0,0). Então
\overrightarrow{QP}=P-Q=(10-8,\,6-0,\,4-0)=(2,6,4),
e
(P-Q)\cdot n = (2,6,4)\cdot(1,-2,2)=2-12+8=-2,
e \big|(P-Q)\cdot n\big|/\|n\|=2/3, igual ao resultado acima.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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