Engenharia Química. Dois planos de separação de áreas industriais são dados por
\pi_{1}: x-y+z-5=0
e
\pi_{2}: 2 x-2 y+2 z+8=0 .
Verifique que são paralelos e calcule a distância entre eles.

Passo 1

O enunciado dá duas equações de planos e pede duas coisas:
  • Verificar se os planos \pi_{1} e \pi_{2} são paralelos.
  • Calcular a distância entre eles.
As informações fornecidas são as equações:
\pi_{1}: x - y + z - 5 = 0
\pi_{2}: 2x - 2y + 2z + 8 = 0

Passo 2

Entendendo o que significa “planos paralelos” (explicação didática curta e amigável).
  • Cada plano em \mathbb{R}^3 da forma Ax+By+Cz+D=0 tem um vetor normal \mathbf{n}=(A,B,C). Esse vetor é perpendicular ao plano.
  • Dois planos são paralelos se, e somente se, seus vetores normais são paralelos (ou seja, um é múltiplo escalar do outro). Intuição: se os normais apontam na mesma direção, as “faces” dos planos ficam orientadas igual, então não se cruzam (ou são coincidentes).

Passo 3

Achar os vetores normais dos dois planos (pegando os coeficientes das variáveis das equações dadas):
  • Para \pi_{1}, o vetor normal é \mathbf{n}_{1}=(1,-1,1) (peguei esses coeficientes da equação de \pi_{1}).
  • Para \pi_{2}, o vetor normal é \mathbf{n}_{2}=(2,-2,2) (peguei esses coeficientes da equação de \pi_{2}).
Agora verifico se \mathbf{n}_{2} é múltiplo escalar de \mathbf{n}_{1}:
\mathbf{n}_{2}=2\,(1,-1,1)=2\,\mathbf{n}_{1}.
Como \mathbf{n}_{2} é igual a 2\mathbf{n}_{1}, os normais são paralelos, logo os planos \pi_{1} e \pi_{2} são paralelos.

Passo 4

Como calcular a distância entre planos paralelos (aulas-macetes e fórmula).
  • Se tivermos dois planos com o mesmo vetor normal (A,B,C),
A x + B y + C z + D_{1}=0
e
A x + B y + C z + D_{2}=0,
a distância entre eles é
\text{dist}=\frac{|D_{2}-D_{1}|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}.
  • Por que essa fórmula funciona (intuição rápida): escolha um ponto qualquer num plano e calcule a projeção (produto escalar) do vetor que liga esse ponto ao outro plano na direção do vetor normal unitário; o módulo disso dá a distância mínima entre planos. A expressão |Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D| é justamente o numerador desse produto escalar (distância assinada), e dividir pela norma \sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}} normaliza pelo comprimento do normal.

Passo 5

Preparar as equações para usar a fórmula (fazer os normais idênticos).
  • Já vimos que \mathbf{n}_{2}=2\mathbf{n}_{1}. Para usar a fórmula na forma simples, escalo \pi_{2} dividindo toda a equação por 2 (isso não altera a posição do plano):
\pi_{2}:\;2x-2y+2z+8=0 \quad\Longrightarrow\quad x-y+z+4=0.
  • Agora as duas equações têm o mesmo vetor normal (1,-1,1). Identifico D_{1} e D_{2} no formato Ax+By+Cz+D=0:
\pi_{1}: x-y+z-5=0 \quad\Rightarrow\quad D_{1}=-5,
\pi_{2}: x-y+z+4=0 \quad\Rightarrow\quad D_{2}=4.

Passo 6

Aplicar a fórmula da distância entre planos paralelos e simplificar passo a passo.
  • Primeiro o numerador:
|D_{2}-D_{1}|=|4-(-5)|=|9|=9.
  • O denominador é a norma do vetor normal:
\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}.
  • Portanto a distância é
\text{dist}=\frac{9}{\sqrt{3}}.
  • Simplificando \dfrac{9}{\sqrt{3}}=\dfrac{9}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}.

Passo 7

Verificação alternativa (opcional, confirma o resultado e ajuda a fixar o método).
  • Escolho um ponto qualquer em \pi_{1}. Tomando y=0 e z=0 em \pi_{1}, da equação x-y+z-5=0 resulta x=5. Assim um ponto de \pi_{1} é P=(5,0,0) (peguei esse ponto da própria equação de \pi_{1}).
  • Distância de um ponto P=(x_{0},y_{0},z_{0}) ao plano Ax+By+Cz+D=0 é
\frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}.
  • Aplicando isso do ponto P ao plano original \pi_{2}:2x-2y+2z+8=0:
\text{num} = |2\cdot5 -2\cdot0 +2\cdot0 +8| = |10+8|=18,
\text{den} = \sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3},
\text{dist}=\frac{18}{2\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3},
o mesmo resultado, confirmado.

Resposta

Sim, os planos são paralelos.
A distância entre eles é 3\sqrt{3}.

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