Engenharia Química. Dois planos de separação de áreas industriais são dados por
e
Verifique que são paralelos e calcule a distância entre eles.
Passo 1
O enunciado dá duas equações de planos e pede duas coisas:
- Verificar se os planos
e são paralelos. - Calcular a distância entre eles.
As informações fornecidas são as equações:
Passo 2
Entendendo o que significa “planos paralelos” (explicação didática curta e amigável).
- Cada plano em
da forma tem um vetor normal . Esse vetor é perpendicular ao plano. - Dois planos são paralelos se, e somente se, seus vetores normais são paralelos (ou seja, um é múltiplo escalar do outro). Intuição: se os normais apontam na mesma direção, as “faces” dos planos ficam orientadas igual, então não se cruzam (ou são coincidentes).
Passo 3
Achar os vetores normais dos dois planos (pegando os coeficientes das variáveis das equações dadas):
- Para
, o vetor normal é (peguei esses coeficientes da equação de ). - Para
, o vetor normal é (peguei esses coeficientes da equação de ).
Agora verifico se
é múltiplo escalar de
:
Como
é igual a
, os normais são paralelos, logo os planos
e
são paralelos.
Passo 4
Como calcular a distância entre planos paralelos (aulas-macetes e fórmula).
- Se tivermos dois planos com o mesmo vetor normal
,
e
a distância entre eles é
- Por que essa fórmula funciona (intuição rápida): escolha um ponto qualquer num plano e calcule a projeção (produto escalar) do vetor que liga esse ponto ao outro plano na direção do vetor normal unitário; o módulo disso dá a distância mínima entre planos. A expressão
é justamente o numerador desse produto escalar (distância assinada), e dividir pela norma normaliza pelo comprimento do normal.
Passo 5
Preparar as equações para usar a fórmula (fazer os normais idênticos).
- Já vimos que
. Para usar a fórmula na forma simples, escalo dividindo toda a equação por (isso não altera a posição do plano):
- Agora as duas equações têm o mesmo vetor normal
. Identifico e no formato :
Passo 6
Aplicar a fórmula da distância entre planos paralelos e simplificar passo a passo.
- Primeiro o numerador:
- O denominador é a norma do vetor normal:
- Portanto a distância é
- Simplificando
Passo 7
Verificação alternativa (opcional, confirma o resultado e ajuda a fixar o método).
- Escolho um ponto qualquer em
. Tomando e em , da equação resulta . Assim um ponto de é (peguei esse ponto da própria equação de ). - Distância de um ponto
ao plano é
- Aplicando isso do ponto
ao plano original :
o mesmo resultado, confirmado.
Resposta
Sim, os planos são paralelos.
A distância entre eles é .
A distância entre eles é