Engenharia de Petróleo. O topo e a base aproximados de uma camada de reservatório são dados por
\pi_{1}: x+2 y+2 z+3000=0
e
\pi_{2}: x+2 y+2 z+3060=0 .
Calcule a espessura perpendicular da camada.

Passo 1

O enunciado dá duas retas planas (planos) aproximando o topo e a base da camada:
\pi_{1}: x+2y+2z+3000=0
\pi_{2}: x+2y+2z+3060=0
Pergunta: calcular a espessura perpendicular da camada (isto é, a distância entre as duas superfícies medida ao longo da direção normal a elas).
Informações relevantes fornecidas:
  • As equações de \pi_{1} e \pi_{2} estão no formato ax+by+cz+d=0 com os mesmos coeficientes a,b,c.
  • Os termos independentes são d_1=3000 para \pi_{1} e d_2=3060 para \pi_{2}.

Passo 2

Observação geométrica simples (sem resolver ainda): quando duas equações de plano têm os mesmos coeficientes a,b,c nas partes ax+by+cz, os planos são paralelos. Aqui, os dois planos têm o mesmo vetor normal. Vamos identificar esse vetor normal e usá-lo para medir a distância perpendicular.
Definição do vetor normal: para um plano dado por ax+by+cz+d=0, um vetor normal ao plano é
\vec{n} = (a,b,c).
No nosso caso,
\vec{n}=(1,2,2).

Passo 3

Fórmula da distância ponto-plano (aula rápida): dado um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) e um plano ax+by+cz+d=0, a distância perpendicular de P_0 ao plano é
\text{dist}(P_0,\text{plano})=\frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Explicação da fórmula (intuição): o numerador é o valor da equação do plano avaliada no ponto — mede quanto o ponto “sai” do plano em unidades da equação — e o denominador é o comprimento do vetor normal, que transforma essa medida em comprimento físico (unidades do espaço).
Quando os planos são paralelos, a distância entre eles pode ser encontrada pegando um ponto de um plano e calculando sua distância ao outro plano usando a mesma fórmula.

Passo 4

Escolher um ponto simples em \pi_{1}. Para encontrar um ponto sobre \pi_{1} igualamos dois coordenadas a zero para obter a outra facilmente. Tomando y=0 e z=0 em \pi_{1},
x+2\cdot0+2\cdot0+3000=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3000.
Logo um ponto em \pi_{1} é
P_0 = (-3000,\,0,\,0).
(Escolheu-se por simplicidade; qualquer ponto de \pi_{1} serviria.)

Passo 5

Aplicar a fórmula da distância do ponto P_0 ao plano \pi_{2}. Na fórmula temos a=1, b=2, c=2 e o termo independente de \pi_{2} é d_2=3060. Então:
\text{dist}(P_0,\pi_{2})=\frac{\big|1\cdot(-3000)+2\cdot0+2\cdot0+3060\big|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}.
Calcular numerador:
1\cdot(-3000)+3060 = -3000+3060 = 60,
portanto o numerador é |60|=60.
Calcular denominador (norma do vetor normal):
\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.
Logo
\text{dist}(P_0,\pi_{2})=\frac{60}{3}=20.

Passo 6

Interpretação final: essa distância é exatamente a espessura perpendicular (distância ao longo da normal) entre os planos \pi_{1} e \pi_{2}. Portanto a espessura perpendicular da camada vale 20 (na mesma unidade usada nos termos constantes das equações; por exemplo, se os termos 3000 e 3060 estão em metros, a espessura é 20 metros).

Resposta

20

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