Engenharia Ambiental e Sanitária. Uma tubulação subterrânea segue a reta
r: X=(10,5,-2)+t(3,2,0)
O plano do lençol freático é dado por
\pi: z+5=0
Calcule a distância entre a tubulação e o lençol freático.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A tubulação (reta) parametrizada
r:\;X=(10,5,-2)+t(3,2,0).
Dessa expressão extraímos:
\text{um ponto da reta }P_0=(10,5,-2), \qquad \text{vetor diretor } \mathbf{v}=(3,2,0).
  • O plano do lençol freático
\pi:\;z+5=0.
O que a questão pede: calcular a distância entre a tubulação (reta) e o lençol freático (plano).

Passo 2

Identificar a posição relativa entre reta e plano (se a reta é paralela ao plano, se intersecta, etc.) é útil porque a forma de calcular a distância depende disso.
Regra prática: se a reta tem vetor diretor \mathbf{v} e o plano tem equação ax+by+cz+d=0 com vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c), então
  • se \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0 a reta é paralela ao plano,
  • se \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\neq0 a reta cruza o plano (há interseção).
Para o plano dado \pi:\;z+5=0 podemos escrevê-lo como
0\cdot x+0\cdot y+1\cdot z+5=0,
logo o vetor normal é
\mathbf{n}=(0,0,1).
Calculemos o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=(3,2,0)\cdot(0,0,1)=3\cdot0+2\cdot0+0\cdot1=0.
Como o produto escalar é 0, concluímos que a reta é paralela ao plano. Isso significa que a distância entre a reta e o plano é a mesma que a distância entre qualquer ponto da reta e o plano.

Passo 3

Fórmula usada (e sua explicação didática):
  • Para um plano ax+by+cz+d=0 com vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) e um ponto Q=(x_0,y_0,z_0), a distância do ponto Q ao plano é dada por
\text{dist}(Q,\pi)=\frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Explicação simples: o numerador é o valor algébrico da equação do plano avaliada no ponto Q (medindo quanto o ponto “sai” do plano), e o denominador normaliza pelo comprimento do vetor normal para obter a distância perpendicular (projeção ortogonal). Todas as letras:
  • a,b,c,d são os coeficientes do plano,
  • (x_0,y_0,z_0) são as coordenadas do ponto.
    Esta é a fórmula padrão de distância ponto–plano que se usa em provas sem complicação.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso. Usamos o ponto P_0=(10,5,-2) (que está na reta) e o plano com a=0, b=0, c=1, d=5.
Calcule o numerador:
|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d| =|0\cdot10 + 0\cdot5 + 1\cdot(-2) + 5| =|-2+5| =|3| =3.
Calcule o denominador:
\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=\sqrt{1}=1.

Resposta

3

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