Engenharia Ambiental e Sanitária. Uma tubulação subterrânea segue a reta
O plano do lençol freático é dado por
Calcule a distância entre a tubulação e o lençol freático.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A tubulação (reta) parametrizada
Dessa expressão extraímos:
- O plano do lençol freático
O que a questão pede: calcular a distância entre a tubulação (reta) e o lençol freático (plano).
Passo 2
Identificar a posição relativa entre reta e plano (se a reta é paralela ao plano, se intersecta, etc.) é útil porque a forma de calcular a distância depende disso.
Regra prática: se a reta tem vetor diretor
e o plano tem equação
com vetor normal
, então
- se
a reta é paralela ao plano, - se
a reta cruza o plano (há interseção).
Para o plano dado
podemos escrevê-lo como
logo o vetor normal é
Calculemos o produto escalar
:
Como o produto escalar é
, concluímos que a reta é paralela ao plano. Isso significa que a distância entre a reta e o plano é a mesma que a distância entre qualquer ponto da reta e o plano.
Passo 3
Fórmula usada (e sua explicação didática):
- Para um plano
com vetor normal e um ponto , a distância do ponto ao plano é dada por
Explicação simples: o numerador é o valor algébrico da equação do plano avaliada no ponto
(medindo quanto o ponto “sai” do plano), e o denominador normaliza pelo comprimento do vetor normal para obter a distância perpendicular (projeção ortogonal). Todas as letras:
-
são os coeficientes do plano, -
são as coordenadas do ponto.
Esta é a fórmula padrão de distância ponto–plano que se usa em provas sem complicação.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso. Usamos o ponto
(que está na reta) e o plano com
,
,
,
.
Calcule o numerador:
Calcule o denominador:
Resposta
3