Engenharia Química. Dois planos de separação de áreas industriais são dados por
e
Verifique que são paralelos e calcule a distância entre eles.
Passo 1
O enunciado dá duas equações de planos e pede duas coisas:
- Verificar se os planos
e
são paralelos.
- Calcular a distância entre esses dois planos (caso sejam paralelos).
Informações relevantes fornecidas:
- Coeficientes das incógnitas nas equações dos planos (esses coeficientes definem vetores normais).
- Não há outras informações adicionais (por exemplo, pontos específicos). A resolução deve usar apenas as equações dadas.
Passo 2
Entender o que significa um plano ter um “vetor normal” e como isso indica paralelismo.
- Para um plano geral escrito como
o vetor normal é . Esse vetor é perpendicular a todo vetor contido no plano. - Dois planos são paralelos quando seus vetores normais são paralelos (ou seja, um é múltiplo escalar do outro).
Aplicando isso aos planos dados:
- O vetor normal de
é (peguei estes coeficientes da equação de ). - O vetor normal de
é (peguei estes coeficientes da equação de ).
Agora verificar se
é múltiplo de
:
pois
. Como um vetor é múltiplo do outro, os planos são paralelos.
Passo 3
Explicar a fórmula para a distância entre dois planos paralelos e por que ela funciona.
Considere dois planos paralelos escritos com o mesmo vetor normal
:
Se
é qualquer ponto de
, então
. A distância da ponto
ao plano
(distância perpendicular) é dada pela fórmula do ponto ao plano:
Substituindo
resulta
Portanto, para usar essa fórmula os planos devem ser escritos com o mesmo vetor normal
(mesmos
); se os coeficientes diferem por um fator, basta escalar uma das equações para igualar os vetores normais.
Passo 4
Aplicar a fórmula ao caso concreto, passo a passo, sem pular etapas.
Primeiro, igualar os normais: dividir a equação de
por
para obter o mesmo vetor normal de
. Dividindo:
Assim podemos reescrever os planos como
e
Agora o vetor normal comum é
(peguei estes coeficientes das duas equações reescritas). Os termos constantes (os
) são:
Calcular a norma de
:
Calcular a diferença absoluta dos termos constantes:
Aplicar a fórmula da distância:
Simplificar a fração:
Passo 5
Recapitulando (rápido e direto): os vetores normais são proporcionais (
), logo os planos são paralelos; ao reescrever com o mesmo normal e aplicar a fórmula, a distância entre os planos é
. Força aí — bate essa questão na prova!
Resposta
Sim — são paralelos.