Engenharia Química. Dois planos de separação de áreas industriais são dados por
\pi_{1}: x-y+z-5=0
e
\pi_{2}: 2 x-2 y+2 z+8=0 .
Verifique que são paralelos e calcule a distância entre eles.

Passo 1

O enunciado dá duas equações de planos e pede duas coisas:
  • Verificar se os planos
\pi_{1}: x-y+z-5=0
e
\pi_{2}: 2x-2y+2z+8=0
são paralelos.
  • Calcular a distância entre esses dois planos (caso sejam paralelos).
Informações relevantes fornecidas:
  • Coeficientes das incógnitas nas equações dos planos (esses coeficientes definem vetores normais).
  • Não há outras informações adicionais (por exemplo, pontos específicos). A resolução deve usar apenas as equações dadas.

Passo 2

Entender o que significa um plano ter um “vetor normal” e como isso indica paralelismo.
  • Para um plano geral escrito como \,a x+b y+c z+d=0\,, o vetor normal é \mathbf{n}=(a,b,c). Esse vetor é perpendicular a todo vetor contido no plano.
  • Dois planos são paralelos quando seus vetores normais são paralelos (ou seja, um é múltiplo escalar do outro).
Aplicando isso aos planos dados:
  • O vetor normal de \pi_{1} é \mathbf{n}_{1}=(1,-1,1) (peguei estes coeficientes da equação de \pi_{1}).
  • O vetor normal de \pi_{2} é \mathbf{n}_{2}=(2,-2,2) (peguei estes coeficientes da equação de \pi_{2}).
Agora verificar se \mathbf{n}_{2} é múltiplo de \mathbf{n}_{1}:
\mathbf{n}_{2}=2\mathbf{n}_{1},
pois (2,-2,2)=2(1,-1,1). Como um vetor é múltiplo do outro, os planos são paralelos.

Passo 3

Explicar a fórmula para a distância entre dois planos paralelos e por que ela funciona.
Considere dois planos paralelos escritos com o mesmo vetor normal \mathbf{n}:
\pi_{1}: \mathbf{n}\cdot\mathbf{x}+d_{1}=0,\qquad \pi_{2}: \mathbf{n}\cdot\mathbf{x}+d_{2}=0.
Se \mathbf{P} é qualquer ponto de \pi_{1}, então \mathbf{n}\cdot\mathbf{P}=-d_{1}. A distância da ponto \mathbf{P} ao plano \pi_{2} (distância perpendicular) é dada pela fórmula do ponto ao plano:
\text{dist}(\mathbf{P},\pi_{2})=\frac{|\mathbf{n}\cdot\mathbf{P}+d_{2}|}{\|\mathbf{n}\|}.
Substituindo \mathbf{n}\cdot\mathbf{P}=-d_{1} resulta
\text{dist}(\pi_{1},\pi_{2})=\frac{|d_{2}-d_{1}|}{\|\mathbf{n}\|}.
Portanto, para usar essa fórmula os planos devem ser escritos com o mesmo vetor normal \mathbf{n} (mesmos a,b,c); se os coeficientes diferem por um fator, basta escalar uma das equações para igualar os vetores normais.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao caso concreto, passo a passo, sem pular etapas.
Primeiro, igualar os normais: dividir a equação de \pi_{2} por 2 para obter o mesmo vetor normal de \pi_{1}. Dividindo:
\frac{1}{2}(2x-2y+2z+8)=0 \quad\Longrightarrow\quad x-y+z+4=0.
Assim podemos reescrever os planos como
\pi_{1}: x-y+z-5=0
e
\pi_{2}: x-y+z+4=0.
Agora o vetor normal comum é \mathbf{n}=(1,-1,1) (peguei estes coeficientes das duas equações reescritas). Os termos constantes (os d) são:
d_{1}=-5\quad(\text{da }\pi_{1}),\qquad d_{2}=+4\quad(\text{da }\pi_{2}).
Calcular a norma de \mathbf{n}:
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}.
Calcular a diferença absoluta dos termos constantes:
|d_{2}-d_{1}|=|4-(-5)|=|9|=9.
Aplicar a fórmula da distância:
\text{dist}(\pi_{1},\pi_{2})=\frac{|d_{2}-d_{1}|}{\|\mathbf{n}\|}=\frac{9}{\sqrt{3}}.
Simplificar a fração:
\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}.

Passo 5

Recapitulando (rápido e direto): os vetores normais são proporcionais ( \mathbf{n}_{2}=2\mathbf{n}_{1}), logo os planos são paralelos; ao reescrever com o mesmo normal e aplicar a fórmula, a distância entre os planos é 3\sqrt{3}. Força aí — bate essa questão na prova!

Resposta

Sim — são paralelos.
\text{Distância}=3\sqrt{3}â

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