Engenharia Química. Um reator está localizado em
R=(5,2,1)
e um tanque de armazenamento em
T=(32,18,1)
Calcule o menor comprimento possível de tubulação entre eles.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos dois pontos no espaço e pede o menor comprimento possível de tubulação entre eles. Informações fornecidas:
  • Reator: \,R=(5,2,1).
  • Tanque: \,T=(32,18,1).
O que é pedido:
  • Calcular a distância mínima entre os pontos R e T, ou seja, o menor comprimento de tubulação que liga esses dois pontos.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): o menor caminho entre dois pontos no espaço euclidiano é a reta que os une. A distância entre dois pontos \,P_1=(x_1,y_1,z_1) e \,P_2=(x_2,y_2,z_2) é dada pela fórmula (resultado direto do Teorema de Pitágoras aplicado em 3 dimensões):
d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}.
Aqui cada termo representa a diferença em uma coordenada; a soma dos quadrados dessas diferenças dá o quadrado da hipotenusa (a hipotenusa é a distância que queremos). Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcular as diferenças entre coordenadas (subtrair coordenadas do reator das do tanque):
\Delta x = x_T - x_R = 32 - 5 = 27,
\Delta y = y_T - y_R = 18 - 2 = 16,
\Delta z = z_T - z_R = 1 - 1 = 0.
Observação amigável: o eixo z é igual nos dois pontos, então não há diferença vertical — a tubulação está no mesmo nível vertical entre os dois pontos.

Passo 4

Elevar cada diferença ao quadrado (mostrando as contas):
(\Delta x)^2 = 27^2 = 27\cdot27 = 729,
(\Delta y)^2 = 16^2 = 16\cdot16 = 256,
(\Delta z)^2 = 0^2 = 0.

Passo 5

Somar os quadrados e extrair a raiz quadrada:
(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2 = 729 + 256 + 0 = 985.
Portanto a distância é
d = \sqrt{985}.
Verificação de simplificação: 985 = 5 \times 197 e 197 é primo, então \sqrt{985} não simplifica para uma raiz inteira ou fator menor racional. Para obter uma aproximação decimal (útil na obra), podemos estimar:
\sqrt{985}\approx 31,38471\quad(\text{arredondado a 5 casas decimais}).
Breve nota técnica sobre a aproximação: como 31^2=961 e 32^2=1024, a raiz está entre 31 e 32; refinamento por métodos simples (regra de três aproximada ou método de Newton) dá o valor acima.

Passo 6

Interpretação prática e dica de prova: o resultado \sqrt{985} é o comprimento mínimo da tubulação em unidades compatíveis com as coordenadas dadas. Em prova, basta calcular as diferenças das coordenadas, elevar ao quadrado, somar e tirar a raiz — tudo isso sem necessidade de teoria complicada, só Pitágoras estendido para 3D. Respire fundo: o procedimento é mecânico e direto.

Resposta

\sqrt{985}
\approx 31,38471

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