Engenharia Civil. Dois nós estruturais de uma treliça espacial estão localizados em
A=(0,0,0) \quad \text { e } \quad B=(18,24,6) .
Calcule o comprimento da barra que liga esses dois nós.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos dois nós da treliça:
  • A=(0,0,0)
  • B=(18,24,6)
O que se pede: calcular o comprimento da barra que liga A a B. Ou seja, encontrar a distância entre os pontos A e B no espaço tridimensional. Todas as coordenadas estão dadas (peguei esses valores do enunciado) e assumimos que estão na mesma unidade de comprimento.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço 3D e de onde ela vem (uma mini-aula bem prática).
Se temos dois pontos (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2), a diferença entre as coordenadas ao longo de cada eixo são os comprimentos dos catetos num triângulo retângulo projetado. Aplicando o Teorema de Pitágoras primeiro no plano horizontal e depois incluindo a altura, obtemos a fórmula
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.
Aqui:
  • d é a distância entre os pontos;
  • x_1,y_1,z_1 são as coordenadas do primeiro ponto;
  • x_2,y_2,z_2 são as coordenadas do segundo ponto.
Essa fórmula é só duas aplicações do Pitágoras: primeiro calcula-se a distância horizontal projetada \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}, depois combina-se com a diferença em z.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos pontos dados A=(0,0,0) e B=(18,24,6). Primeiro calculo as diferenças de coordenadas:
x_2-x_1 = 18-0 = 18,
y_2-y_1 = 24-0 = 24,
z_2-z_1 = 6-0 = 6.

Passo 4

Agora elevo cada diferença ao quadrado (mostrando as contas detalhadamente):
(18)^2 = 324,
(24)^2 = 576,
(6)^2 = 36.
Somando esses quadrados:
324 + 576 + 36 = 900 + 36 = 936.

Passo 5

A distância é a raiz quadrada dessa soma:
d = \sqrt{936}.
Para simplificar, fatoro 936. Observa que 936 = 36 \times 26 e 36 é um quadrado perfeito ( 36=6^2). Assim
\sqrt{936} = \sqrt{36\cdot 26} = 6\sqrt{26}.

Passo 6

Se quiser uma aproximação decimal (útil na obra ou em verificação rápida), calculo \sqrt{26}\approx 5,099019\ldots e então
d \approx 6\times 5,099019\ldots \approx 30,59.
Portanto a distância é 6\sqrt{26}, que é aproximadamente 30,59 (nas mesmas unidades das coordenadas dadas). Força aí — essa conta é direta e costuma cair em prova!

Resposta

6\sqrt{26}\approx30,59

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