Engenharia Civil. Dois nós estruturais de uma treliça espacial estão localizados em
Calcule o comprimento da barra que liga esses dois nós.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas dos dois nós da treliça:
O que se pede: calcular o comprimento da barra que liga
a
. Ou seja, encontrar a distância entre os pontos
e
no espaço tridimensional. Todas as coordenadas estão dadas (peguei esses valores do enunciado) e assumimos que estão na mesma unidade de comprimento.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço 3D e de onde ela vem (uma mini-aula bem prática).
Se temos dois pontos
e
, a diferença entre as coordenadas ao longo de cada eixo são os comprimentos dos catetos num triângulo retângulo projetado. Aplicando o Teorema de Pitágoras primeiro no plano horizontal e depois incluindo a altura, obtemos a fórmula
Aqui:
-
é a distância entre os pontos; -
são as coordenadas do primeiro ponto; -
são as coordenadas do segundo ponto.
Essa fórmula é só duas aplicações do Pitágoras: primeiro calcula-se a distância horizontal projetada
, depois combina-se com a diferença em
.
Passo 3
Aplicando a fórmula aos pontos dados
e
. Primeiro calculo as diferenças de coordenadas:
Passo 4
Agora elevo cada diferença ao quadrado (mostrando as contas detalhadamente):
Somando esses quadrados:
Passo 5
A distância é a raiz quadrada dessa soma:
Para simplificar, fatoro
. Observa que
e
é um quadrado perfeito (
). Assim
Passo 6
Se quiser uma aproximação decimal (útil na obra ou em verificação rápida), calculo
e então
Portanto a distância é
, que é aproximadamente
(nas mesmas unidades das coordenadas dadas). Força aí — essa conta é direta e costuma cair em prova!